[多素数RSA]利用phi(n)分解n

利用phi(n)分解n的方法

最新推荐文章于 2025-10-10 11:18:59 发布

原创最新推荐文章于 2025-10-10 11:18:59 发布 · 558 阅读

·

9

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

文章标签：

#密码学 #网络安全 #安全 #python #抽象代数

本文以n=pq为例，实际上这种方法可以使用到多素数的RSA系统。

假设我们已经知道 $\phi(n)$ 的整数倍，记为b，其中 $b=k\phi(n)$ ，那么根据欧拉定理，任意一个与n互素的a，都满足：

$a^{b} \equiv a^{k\phi(n)} \equiv 1 \mod(n)$

由于b是偶数，所以把b中的素因子2全部提出，那b就可以写成：

$b = 2^ts$

其中s为奇数。

所以：

$a^{2^ts} \equiv 1 \mod(n)$

所以：

$n \mid a^{2^ts}-1$

也就是说 $a^{2^ts}-1$ 中同时含有p，q，这对我们分解n没有帮助，但是这里我们发现被除数可以因式分解，由平方差公式得：

$a^{2^ts}-1 = (a^{2^{t-1}s}+1)(a^{2^{t-1}s}-1)$

通过这样分解，就有可能把p和q分开到两个式子中，如果确实分开了，就可以利用 $gcd(n,a^{2^{t-1}s}+1 )$ 或 $gcd(n,a^{2^{t-1}s}-1 )$ 求出n的素因子，那如果p和q没有分开的话，我们就可以接着分解：

$a^{2^ts}-1 = (a^{2^{t-1}s}+1)(a^{2^{t-2}s}+1)(a^{2^{t-2}s}-1)$

就这样一直套用平方差公式，可得：

$a^{2^ts}-1 = (a^{2^{t-1}s}+1)(a^{2^{t-2}s}+1)\cdot \cdot \cdot (a^{2s}+1)(a^{s}+1)(a^{s}-1)$

然后我们去尝试每一个因式，看看能不能把p和q分解出来，如果每个因式都失败了，也没关系，因为这里a是任选的，所以我们只需要换一个a继续重复上述步骤就行。

END

评论

成就一亿技术人!

拼手气红包6.0元

还能输入1000个字符

添加红包

插入表情

表情包

代码片

HTML/XML
objective-c
Ruby
PHP
C
C++
JavaScript
Python
Java
CSS
SQL
其它

条评论被折叠查看

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。