泊松分布与现实生活

本文从二项分布出发,深入浅出地介绍了泊松分布的概念及其适用条件。通过具体实例,如一小时内到达公交车站的乘客人数,展示了泊松分布的应用场景。

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现实生活中很多事件都服从泊松分布,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、一个小时内到达银行办理业务的客户数,某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

那么什么是泊松分布呢?泊松分布需要满足什么条件呢?下面我就给大家娓娓道来。

说到泊松分布,就不得不提及二项分布,二项分布最典型的例子相信大家都听说过,那就是抛硬币的例子。在n次抛硬币的过程中,每次只可能出现两种结果——正面或者反面,同时每次抛出正面或者反面的概率是不变的(这里是0.5),并且n次抛硬币的过程中抛出正面或者反面是独立的,互不影响。即满足以下三个条件:
(1)每次试验中事件只有两种结果:事件发生或者不发生,如硬币正面或反面。
(2)每次试验中事件发生的概率是相同的,注意不一定是0.5;
(3)n次试验的事件相互之间独立。

此时,假设事件发生的概率为p,那么n次试验中事件发生k次的概率则可以用下面的公式表示:
这里写图片描述

在这n次试验中,事件发生的数学期望为:
这里写图片描述

接下来我们由二项分布推广到泊松分布。

我们可以这样考虑,在一个特定时间内,某个事件(比如抛硬币抛到一次正面)会在任意时刻随机发生(前提是,每次发生都是独立的,且跟时间无关)。当我们把这个时间段分成非常小的时间片时,可以认为,每个时间片内,该事件(抛硬币抛到正面)可能发生,也可能不发生。几乎可以不考虑发生多于一次的情况(因为时间片可被分的足够小)。

当时间片分的越小,该时间片内发生这个事件(抛硬币抛到正面)的概率 p 就会成正比的减少。即:特定时间段被分成的时间片数量 n 与每个时间片内事件发生的概率 p 的乘积 n*p 为一个常数,假设为lamda。这个常数表示了该事件在指定时间段发生的频度(即数学期望)。即
这里写图片描述

更进一步,n趋于无穷大时,p趋于0,此时事件发生的概率是服从泊松分布的。因为这个时候其实每个时间片内事件(抛硬币抛到正面)发生的概率是服从二项分布的,所以推导如下:
这里写图片描述

由此,总结得出一个事件在一段时间内随即发生,其服从泊松分布的条件为:
(1)将该时间段无限分隔成很多个小的时间段,在这个小的时间段内,事件发生的概率非常小,不发生的概率非常大。
(2)在每个小的时间段内,事件发生的概率是稳定的,且与小的时间段的长度成正比。
(3)该事件在不同的小时间段里,发生与否相互独立。

现在我们来分析一下一小时内到达公交车站的乘客人数,我们可以这样考虑,把一小时分割成3600s,那么在这1s内,到达公交站的乘客人数(事件发生的概率)可以认为非常小,甚至是不足一人;同时,每1s内到达的人数是稳定的,且到达的人数与时间长度成正比;最后,每1s内是否有乘客到达公交站之间是独立的(不考虑大家约着一起来的话)。所以一段时间到达公交站的乘客人数服从泊松分布。

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