微分流形（二）：切向量和切空间

原创 已于 2025-07-27 00:09:34 修改 · 294 阅读 · 2 ·
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#拓扑学

于 2025-07-27 00:06:14 首次发布

目录

一、前情提要

二、切向量

2.1 定义

2.2 表示

2.2.1 坐标变换下的表达

2.2.2 切向量的坐标表示

2.2.3 坐标变换下的切向量变化

三、切空间

一、前情提要

二、切向量

对于流形上的切向量，有一个比较直观的理解，就是

2.1 定义

从分析的角度来看，切向量等同于一个作用在光滑函数上的导数算子

2.2 表示

2.2.1 坐标变换下的表达

举个例子

2.2.2 切向量的坐标表示

2.2.3 坐标变换下的切向量变化

这个是不是容易联想到线性代数的换基操作？事实上，我们可以将两者对比一下

三、切空间

即流形 M 在点 x 处的切空间（Tangent Space）.

黎曼几何引论：切向量和切空间
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07-15 451
黎曼几何是数学的一个分支，专注于研究曲面上的几何性质，特别是当这些曲面不在欧几里得空间中时的情况。它在19世纪中叶由德国数学家伯恩哈德·黎曼提出，是对牛顿和欧拉的工作的扩展。黎曼几何不仅对数学本身产生了深远的影响，还成为了现代物理学，特别是广义相对论的重要基石。黎曼几何中的核心算法涉及到度量张量、曲率张量以及几何流的概念。度量张量定义了曲面上的长度、角度和面积度量，而曲率张量则描述了曲面在不同方向上的弯曲程度。几何流则是通过微分方程来跟踪曲面上的几何特征随时间的变化。
第39篇:微分流形与流形学习算法
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第39篇:微分流形与流形学习算法 1.背景介绍 1.1 什么是流形 在数学中,流形(manifold)是一种拓扑空间,它在每一点都类似于欧几里得空间。更精确地说,一个流形是一个局部像欧几里得空间的拓扑空间。流形的概念源于对曲线和曲面在高维空间中的推
微分流形（三）：余切向量与余切空间
Aurrorra的博客
08-21 627
若γ−εε→Mγ−εε→M为通过ppp的光滑曲线（γ0pγ0p），定义Xfddtfγt∣t0Xf:=dtd​fγt​t0​得到ppp处的一个方向导数算子XXX（切向量）。
【流形中的切向量、切空间、切丛和曲率】
Toxlin的博客
01-15 1877
因此，切向量不是简单的空间中的普通向量，它是一个与流形的局部结构相切的向量。在流形的每个点上，都有一个切空间，这个切空间描述了从该点出发的所有可能的“方向”。切丛本身是一个流形，它不仅包含流形上每个点的信息，还包含了这些点的局部变化方向的信息。换句话说，切丛描述了地球上每个点的所有可能方向，是一个庞大的向量空间，包含了地球表面每个点的所有切向量。而你的切空间就是所有可能的方向的集合，也就是所有与赤道切线平行的方向（这些方向形成一个二维平面，描述你在地球表面上可以行走的所有可能方向）。
微分流形2：流形上的矢量场和张量场
yxriyin的专栏
07-23 2273
每一个方向导数的结果就是一个“斜率”，理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”，我们把所有的方向全部组合在一起，所有的直线就变成了平面，也就是这个场的超平面。也就是说，三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形，我们取它的一个局部，它应该同胚于R^2，然后我们应该有一个到R的映射，这就是它的泛函。不过也对，本来求导后得到的是一个切空间，但现在考虑的是完整的流形M，那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。注意“场”是一个映射，把流形映射到一个标量上，形成的一个“场”，这个场是映射本身的性质。
微分几何笔记(8) —— 切向量，切空间
Sqrtbirthdeath的博客
06-01 3362
上一篇定义了光滑微分流形，这一篇在其上定义光滑函数，并且定义流形之间的光滑映射。
微分流形3：流形上的矢量场和张量场（续）
yxriyin的专栏
07-24 600
也就是说，微分，要先对我们的标量场进行方向导数的求导，得到一个向量场，然后再对这个向量场映射到一个F，这是它的对偶映射，也就是余切向量。df=bi axi，注意，这是求和。我们简单思考下，对于g而言，它的标量场只含有x1的元素，那么它的切向量，也就只会需要对x1求偏导，同样的，对于切向量的映射到R，最终也只会需要dx1存在，因为dx2,dx3映射的值都是0.这是一个很好的例子，我们首先找到流形M点p上的一个向量，这个向量一看就是切向量，也就是求方向导数，那么微分作用到它身上，就会映射到余切向量，
流形拓扑学：向量场的Poisson括号积
AI天才研究院
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流形拓扑学：向量场的Poisson括号积 1.背景介绍 在数学和物理学领域中,流形(manifold)是一个基本的概念,它描述了一种在局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。流形广泛应用于许多领域,如微分几何、理论物理、经典力学和量子场论等。在研究流形时,向量场(vector field
3 切向量和切空间1
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在微分几何中，"切向量"和"切空间"是极其重要的概念，它们用于描述微分流形上的局部性质。微分流形是一种抽象的数学结构，它在局部上类似于欧几里得空间，但整体可能具有复杂的拓扑。由于微分流形自身不具备内含的...
【数学分析】拓扑学-度量空间
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自动驾驶语义分割、图像分割数据集（约3000张数据和标签，已处理完可以直接训练，多类别图像分割）
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自动驾驶语义分割、图像分割数据集（约3000张数据和标签，已处理完可以直接训练，多类别图像分割） 【标签信息，0 背景 道路 草丛 车 栏杆 查看classes文件】 数据集介绍：【已经划分好】 训练集：images图片目录+masks模板目录，2100张左右图片和对应的mask图片 验证集：images图片目录+masks模板目录，900张左右图片和对应的mask图片 除此之外，包含一个图像分割的可视化脚本，随机提取一张图片，将其原始图片、GT图像、GT在原图蒙板的图像展示，并保存在当前目录下 AI改进网络介绍：https://blog.youkuaiyun.com/qq_44886601/category_12858320.html 更多图像分割网络unet、swinUnet、trasnUnet改进，参考改进专栏：https://blog.youkuaiyun.com/qq_44886601/category_12803200.html
用于生成标准化功率的 GNSS 信号（含 GPS 与 Galileo 系统），输出信号的实部（I 分量）和虚部（Q 分量）附matlab代码.rar
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1.版本：matlab2014/2019a/2024a 2.附赠案例数据可直接运行。 3.代码特点：参数化编程、参数可方便更改、代码编程思路清晰、注释明细。 4.适用对象：计算机，电子信息工程、数学等专业的大学生课程设计、期末大作业和毕业设计。
微分流形初步答案 pdf
07-24
还会介绍微分流形上的切空间、切向量和切丛等重要概念，以及微分流形上的流形函数、向量场和切向量的坐标表示等内容。此外，还可能会介绍微分流形上的微分形式、外微分和流形上的曲线和流形上的积分等内容。 总之，...
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