4144.畜栏保留问题【贪心+优先队列】

最新推荐文章于 2022-05-17 22:33:52 发布

原创最新推荐文章于 2022-05-17 22:33:52 发布 · 2.3k 阅读

16 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

算法专栏收录该内容

1 篇文章

订阅专栏

本文介绍了如何解决畜栏保留问题，通过贪心策略和优先队列实现。首先将牛按开始时间排序，然后用优先队列维护畜栏，确保最小结束时间。贪心策略保证了畜栏数的最小化，并通过反证法证明其正确性。最后，文章给出了代码实现和优先队列的相关知识点。

4144.畜栏保留问题

总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB

描述

农场有N头牛，每头牛会在一个特定的时间区间[A, B]（包括A和B）在畜栏里挤奶，且一个畜栏里同时只能有一头牛在挤奶。现在农场主希望知道最少几个畜栏能满足上述要求，并要求给出每头牛被安排的方案。对于多种可行方案，主要输出一种即可。

输入

输入的第一行包含一个整数N(1 ≤ N ≤ 50, 000)，表示有N牛头；接下来N行每行包含两个数，分别表示这头牛的挤奶时间[Ai, Bi](1 ≤ A≤ B ≤ 1, 000, 000)。

输出

输出的第一行包含一个整数，表示最少需要的畜栏数；接下来N行，第i+1行描述了第i头牛所被分配的畜栏编号（从1开始）。

样例输入

5
1 10
2 4
3 6
5 8
4 7

样例输出

4
1
2
3
2
4

分析

贪心策略

最大限度利用已有的畜栏。

把n头牛按照开始时间排序；
为第1头牛新建一个畜栏，记录其结束时间；
对于第i头牛，找到已有的畜栏中结束时间最早的，并与它自己的开始时间比较。
如果开始时间大于（注意这里是严格大于，之前自以为是大于等于然后一直WA嘤嘤嘤┭┮﹏┭┮）最早的结束时间，就把牛i安排到那个畜栏里面，把原来的牛j“丢出来”；如果小于等于，就新建一个畜栏。更新结束时间。

贪心策略正确性的证明

假设用以上贪心策略对前n头牛的安排方案至少和最优策略用的畜栏数相同，并且该方案具有最小的最早结束时间。

当n=1时，结论显然成立；
假设当n=k时也成立，那么对于k+1头牛：
① 证明贪心策略对前n头牛的安排方案至少和最优策略用的畜栏数相同：
（反证法）若畜栏数不是最优的，已知k头牛的最优策略的畜栏数就是上述贪心策略得到的，那么前k+1头牛的最优策略不会小于这个数；
又因为结论不成立，所以一定是——
贪心策略：放入第k+1头牛的时候，它的开始时间A_k+1小于前k头牛贪心策略得到的最早结束时间T_k，新建了一个畜栏；
最优策略：放入第k+1头牛的时候，它的开始时间大于等于前k头牛最优策略得到的最早结束时间T’_k，放入了已有的畜栏；
也就是T’_k<=A_k+1<T_k——这与归纳假设中前k头牛的贪心策略具有最小的最早结束时间矛盾！
② 证明贪心策略具有最小的最早结束时间：
当第k+1头牛的开始时间小于最小的最早结束时间，就新建一个畜栏，这是最早结束时间更新为第k+1头牛的结束时间（如果它比原有的更小），或者保持原来的最小最早结束时间不变；
否则，放入相应的畜栏，在所有的畜栏的结束时间中找到最小的，更新最早结束时间。
上述每一种更新，都保证了最早的结束时间是最小的。

贪心的实现

按照开始时间排序所有的牛；
用优先队列维护已有畜栏，保证堆顶的畜栏具有最小的最早结束时间；
对于一头新的牛，要么把原有的牛弹出，再放入自己（相当于更新了原有的畜栏的状态），要么直接放入自己（相当于新建了一个畜栏）。
注意此时的运算符重载在结构体内部

代码及解析

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 50010
struct cattle//定义结构体，l,r分别表示牛挤奶的开始、结束时间，id表示第i头牛
{
	int l, r, id;
	bool operator < (const cattle& a)const
	{
		return r > a.r;//保证优先队列的队首是结束时间最早的畜栏
	}
};
priority_queue <cattle> q;//建立优先队列
cattle a[MAXN];//保存每一头牛的信息
int use[MAXN];//保存每一头牛被放入的畜栏编号
bool mycmp(cattle a, cattle b)//自定义排序，按照开始时间从小到大
{
	if (a.l == b.l)return a.r < b.r;
	return a.l < b.l;
}

主函数：

int main()
{
	int n;//牛的总数
	int ans = 0;//畜栏的总数
	cin >> n;
	memset(use, 0, sizeof(use));//归零（害其实关系不大）
	while (!q.empty())q.pop();//清空
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> a[i].l >> a[i].r;
		a[i].id = i;
	}
	sort(a, a + n, mycmp);//把n头牛按照开始时间从小到大进行排序
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		if (!q.empty() && q.top().r < a[i].l)//如果当前有畜栏并且可以用
		{
			use[a[i].id] = use[q.top().id];//把牛i放到这个畜栏里面
			q.pop();//把原来的牛“丢出去”
		}
		else
		{
			ans++;//否则新建一个畜栏
			use[a[i].id] = ans;//把牛i放到新的畜栏里面
		}
		q.push(a[i]);//把牛i放到原队列里面
	}
	cout << ans << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		cout << use[i] << endl;
	return 0;
}

知识点

优先队列

基本概念
可以按照自定义的方式（数据的优先级）对队列中的数据动态排序
每次pop,push操作，队列都会根据优先级动态调整
优先级
默认使用<来确定数据之间的优先级关系
也可以由用户自定义
自定义的方式有两种：1. 不需要结构体（如下）；2.在结构体内嵌运算符重载
priority_queue<int,vector<int>,less<int>>s;//定义优先级队列s，less表示按照递减(从大到小)的顺序插入元素 priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>s;//定义优先级队列s，greater表示按照递增（从小到大）的顺序插入元素 priority_queue<int> p;//直接定义，默认为顺序递减
基本操作：
empty(); 队列为空返回1
pop(); 出队
push(); 入队
top(); 返回队列中优先级最高的元素
size(); 返回队列中元素的个数

基于多关键字的结构体比较
4. 内嵌运算符重载
决定了优先队列中的“优先级”规则

struct cattle//定义结构体，l,r分别表示牛挤奶的开始、结束时间，id表示第i头牛
{
	int l, r, id;
	bool operator < (const cattle& a)const
	{
		return r > a.r;//保证优先队列的队首是结束时间最早的畜栏
	}
};

另一种定义方式

struct node
{
    friend bool operator< (node n1, node n2)
    {
        return n1.priority < n2.priority;
    }
    int priority;
    int value;
};

外置比较函数
比如传参到sort()函数里面使用

bool mycmp(cattle a, cattle b)//自定义排序，按照开始时间从小到大
{
	if (a.l == b.l)return a.r < b.r;
	return a.l < b.l;
}

sort(a, a + n, mycmp);//把n头牛按照开始时间从小到大进行排序

芜湖~第一篇题解写完啦！