位运算（&、^、补码、lowbit操作）

首先介绍一些基本概念

按位与操作（&）

是一种位运算，它逐位比较两个二进制数，并根据如下规则返回一个新的二进制数：

• 1 & 1 = 1
• 1 & 0 = 0
• 0 & 1 = 0
• 0 & 0 = 0

简单来说，只有当两个对应位都是 1 时，结果才是 1；否则结果为 0。

按位与操作的示例

假设有两个整数 5 和 3，它们的二进制表示分别是：

• 5 的二进制：0101
• 3 的二进制：0011

异或操作（XOR，^）

是一种位运算符，它对两个二进制数的每一位进行比较，并根据如下规则生成一个新的二进制数：

• 相同的位：结果为 0
• 不同的位：结果为 1

示例：

假设有两个数 5 和 3，它们的二进制表示分别是：

• 5 的二进制表示：0101
• 3 的二进制表示：0011
• 现在对它们进行异或运算：

•   0101  (5)
  ^ 0011  (3)
  -------
    0110  (结果是 6)
  

  补码

比如5的二进制串是:"101",那么~5(补码)就是"010"。全部取反即可

lowbit操作

是一种在二进制数中获取数字的 最低位的1 的值的操作，常用于一些算法和数据结构中，比如树状数组（Fenwick Tree）等。

Lowbit定义：对于一个整数 x，lowbit(x) 返回它的二进制表示中最右边的 1 及其对应的值（即最低位的 1 的值）。lowbit(x) 的计算方式是：lowbit(x) = x & -x

这个公式利用了二进制的补码性质来找到 x 中的最低位 1。

为什么 x & -x 可以得到 lowbit？

• 对于一个数 x，它的 负数（-x）可以通过取补码表示。负数 -x 的补码是 x 的反码（即逐位取反）加 1。
• x & -x 的结果正好是 x 中最低位的 1，其他所有位都是 0。原因是 -x 在二进制上会保留 x 中从最低位的 1 及其后面的所有 0，其他高位则取反。

示例：

以 12 为例：

• 12 的二进制表示为：1100
• -12 的二进制表示为：0100（将 1100 取反并加 1）

•   1100  (12)
  & 0100  (-12)
  -------
    0100  (结果是 4)
  

 

 二进制中1的个数（模板题）

给定一个长度为 n 的数列，请你求出数列中每个数的二进制表示中 1 的个数。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，表示整个数列。

输出格式

共一行，包含 n 个整数，其中的第 ii 个数表示数列中的第 ii 个数的二进制表示中 11 的个数。

数据范围

1≤n≤100000,
0≤数列中元素的值≤10^9

输入样例：

5
1 2 3 4 5

输出样例：

1 1 2 1 2

代码 

#include <iostream>

using namespace std;

int n;

int lowbit(int x){
    return -x & x;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    while(n --){
        int x;
        int res = 0;
        cin >> x;
        
        while(x){
            res ++;
            x -= lowbit(x);
        }
        
        cout << res << " ";
    }
    
    return 0;
}

构造最小位运算数组|| (lowbit操作的应用)

传送门. - 力扣（LeetCode）

给你一个长度为 n 的

质数

数组 nums 。你的任务是返回一个长度为 n 的数组 ans ，对于每个下标 i ，以下 条件 均成立：

• ans[i] OR (ans[i] + 1) == nums[i]

除此以外，你需要 最小化 结果数组里每一个 ans[i] 。

如果没法找到符合 条件 的 ans[i] ，那么 ans[i] = -1 。

质数 指的是一个大于 1 的自然数，且它只有 1 和自己两个因数。

示例 1：

输入：nums = [2,3,5,7]

输出：[-1,1,4,3]

解释：

• 对于 i = 0 ，不存在 ans[0] 满足 ans[0] OR (ans[0] + 1) = 2 ，所以 ans[0] = -1 。
• 对于 i = 1 ，满足 ans[1] OR (ans[1] + 1) = 3 的最小 ans[1] 为 1 ，因为 1 OR (1 + 1) = 3 。
• 对于 i = 2 ，满足 ans[2] OR (ans[2] + 1) = 5 的最小 ans[2] 为 4 ，因为 4 OR (4 + 1) = 5 。
• 对于 i = 3 ，满足 ans[3] OR (ans[3] + 1) = 7 的最小 ans[3] 为 3 ，因为 3 OR (3 + 1) = 7 。

示例 2：

输入：nums = [11,13,31]

输出：[9,12,15]

解释：

• 对于 i = 0 ，满足 ans[0] OR (ans[0] + 1) = 11 的最小 ans[0] 为 9 ，因为 9 OR (9 + 1) = 11 。
• 对于 i = 1 ，满足 ans[1] OR (ans[1] + 1) = 13 的最小 ans[1] 为 12 ，因为 12 OR (12 + 1) = 13 。
• 对于 i = 2 ，满足 ans[2] OR (ans[2] + 1) = 31 的最小 ans[2] 为 15 ，因为 15 OR (15 + 1) = 31 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 100
• 2 <= nums[i] <= 109
• nums[i] 是一个质数。

代码

class Solution {
public:
    int lowbit(int x){
        return -x & x;
    }
    vector<int> minBitwiseArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        for(int i = 0;i < n;i ++){
            int x = nums[i];
            if(x == 2){
                nums[i] = -1;
                continue;
            }
            nums[i] ^= lowbit(~x) >> 1;
        }
        return nums;
    }
};

加油