树状数组求逆序对

一般来说，求逆序对，方法如下：
1、如果 N<10000，可以用冒泡排序，交换次数就是逆序对数量，时间复杂度 O(n2)，空间复杂度 O(n)
2、如果 N>=10000，用归并排序，是分治思想，时间复杂度 O(nlog2n)，空间复杂度 O(2*n)，见上面参考代码。
3、如果 K 表示最大元素和最小元素的差值，当 N 大于400000，K=50000 的时候，树状数组比分治更快，时间复杂度 O(nlog2K)，空间复杂度 O(K)。

树状数组求逆序对的方法，在考场上不失一个好的选择，因为它不仅速度更快，而且代码也比较简单，因为我们是以数的大小为下标，所以情况可以分为两种，
第一种为题目给的需要求逆序对的数列的最大值太大，如果直接作为下标会浪费大量的空间，这时候需要离散化点值，使它缩小到我们可控的范围之内;
第二种则是数列大小恰好在N的范围内，即a[]max<=N,可以直接计算；

我们巧妙地运用了巧妙的树状数组，其中树状数组里面的a[]（原数组）的下标表示的就是A序列里面的元素。例如：当A=｛3,3,1,9,11｝,循环时依次在a[3]，a[3]，a[1]，a[9]，a[11]加一。聪明的读者应该知道这个方法怎样实现了。没错，就是先读入元素ai，再将a[i]加一，然后用树状数组的特点在O(log2K)的时间复杂度求出Σa[k]（1<=k<=i）。这样对于之前读入而且小于等于ai的元素个数为Σa[k]，读入的ai为第i个元素，所以在ai前面且比ai大的元素为i-Σa[k]，问题得以解决。

我们来看一道例题：

Prince对他在这片大陆上维护的秩序感到满意，于是决定启程离开艾泽拉斯。在他动身之前，Prince决定赋予King_Bette最强大的能量以守护世界、保卫这里的平衡与和谐。在那个时代，平衡是个梦想。因为有很多奇异的物种拥有各种不稳定的能量，平衡瞬间即被打破。KB决定求助于你，帮助他完成这个梦想。 一串数列即表示一个世界的状态。
平衡是指这串数列以升序排列，而从一串无序数列到有序数列需要通过交换数列中的元素来实现。KB的能量只能交换相邻两个数字。他想知道他最少需要交换几次就能使数列有序。
输入格式
第一行为数列中数的个数 N（n≤100000）。
第二行为 N 个数 a1～an （每个数小于100000），表示当前数列的状态。
输出格式
输出一个整数，表示最少需要交换几次能达到平衡状态。
这道题的题意就是求数列a中的逆序对的个数，我们注意到，“a1～an （每个数小于100000）”，所以这道题也就不需要离散化，可以直接求

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cctype>
#include<set>
#include<queue>
using namespace std;
long long  n,x,tree[100005],ans; //不用long long 会在最后一个点溢出 
//---------------------
inline int lowbite(int i)
{
    return i & (-i);
}
//---------------------
inline void Update(int i,long long t)
{
    while(i<=n)//体会一下为什么我们用a[]做下标,却是i<=N
    {
       tree[i]+=t;
       i+=lowbite(i);
    }
}
//---------------------
inline int query(long long i)
{
    long long  tmp=0;
    while(i>0)
    {
        tmp+=tree[i];
        i-=lowbite(i);
    }
    return tmp;
}
//---------------------
int main()
{
    freopen("dream.in","r",stdin);

    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        Update(x,1);
        ans+=(i-query(x));
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

代码中的问题就是因为“a1～an （每个数小于100000）”,所以就可以直接i<=n,否则就需要离散化。

POJ2299就是需要离散化得情况，离散化得过程如下：

 离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围，必要的是建立一个结构体a[n]，v表示输入的值，order表示原i值，再用一个数组aa[n]存储离散化后的值  
 例如： 
 i：1 2 3 4 5 
 v: 9 0 1 5 4 
 排序后:0 1 4 5 9 
 order:2 3 5 4 1 如果建立映射：aa[a[i].order]=i; 
 aa:5 1 2 4 3 
 即原本的9经过排序应该在第5位，现在aa[1]=5，对应原来的9，大小次序不变，只是将9缩小到了5

其余过程大体同上，在此就不赘述。