最大子段和之分治递归法

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Problem Description

给定n(1<=n<=50000)个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整数均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为： Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n。 例如，当（a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6]）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

**注意：**本题目要求用分治递归法求解，除了需要输出最大子段和的值之外，还需要输出求得该结果所需的递归调用总次数。

递归调用总次数的获得，可以参考以下求菲波那切数列的代码段中全局变量count的用法：

#include
int count=0;
int main()
{
    int n,m;
    int fib(int n);
    scanf("%d",&n);
    m=fib(n);
    printf("%d %d\n",m,count);
    return 0;
}
int fib(int n)
{
    int s;
    count++;
    if((n==1)||(n==0)) return 1;
    else s=fib(n-1)+fib(n-2);
    return s;
}

Input

第一行输入整数n(1<=n<=50000)，表示整数序列中的数据元素个数；

第二行依次输入n个整数，对应顺序表中存放的每个数据元素值。

Output

一行输出两个整数，之间以空格间隔输出：

第一个整数为所求的最大子段和；

第二个整数为用分治递归法求解最大子段和时，递归函数被调用的总次数。

Sample Input

6
-2 11 -4 13 -5 -2

Sample Output

20 11

首先，假定有区间[l…r][l…r]，其中间位置为midmid，其最大子段为[i…j][i…j]。那么显然，ii和jj必定符合下列三种情况之一：

只需要分别求出三种情况下的值，取其最大的即可。

其中，很容易求出第二种情况，即求出区间[i…mid][i…mid]与区间[mid+1…j][mid+1…j]，将其相加即可。复杂度O(n)O(n)
如何处理第一种和第三种情况呢？也不难发现，第一种情况，其实就是求区间[1…mid][1…mid]中的最大值，第三种情况就是求区间[mid+1…r][mid+1…r]中的最大值。那么，只需递归求出即可。

显然，该解法的复杂度为 O(nlogn),O(nlogn) 通过此题是没问题的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,arr[200200];//开数组存数字
int c= 0;//递归次数
int rec(int l,int r){
    int sum = 0;
    c++;
    //当左右相等时
    if(l==r){
        if(arr[l]>=0)
            sum = arr[l];
        else
            sum = 0;
    }
    else
    {
        int  mid = (l+r)>>1;
        int leftsum = rec(l,mid);
        int rightsum = rec(mid+1,r);

        int s1,s2,ss;

        s1 = ss =0;
        for(int i=mid;i>=l;--i){
            ss+=arr[i];
            s1 = max(ss,s1);
        }

        s2 = ss =0;
        for ( int i=mid+1;i<=r;++i){
            ss+=arr[i];
            s2 = max(ss,s2);
        }

        sum = max(max(s1+s2,leftsum),rightsum);
    }
    return sum;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i<n; ++i)
		scanf("%d", &arr[i]);
    cout<<rec(0,n-1)<<" "<<c<<endl;
    return 0;
}