### 关于《视觉SLAM十四讲》第二版第三讲课后习题答案解析
#### 一、关于第三讲课后习题的内容概述
《视觉SLAM十四讲》第二版第三讲主要围绕相机模型展开讨论，涉及针孔相机模型、畸变校正等内容。课后习题通常会要求读者通过理论推导和实际操作加深对这些概念的理解。
以下是针对该章节可能涉及的典型问题及其解析：
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#### 二、具体题目分析与解答
##### 题目1：解释针孔相机模型中的参数含义，并说明如何利用这些参数完成图像坐标系到世界坐标系的转换。
针孔相机模型的核心在于描述空间点与其在成像平面上投影之间的关系。其基本方程可以表示为：
\[ \begin{bmatrix} u \\ v \\ 1 \end{bmatrix} = K \cdot [R | t] \cdot \begin{bmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \end{bmatrix}, \]
其中 \(K\) 是内参矩阵，\(R\) 和 \(t\) 分别代表旋转和平移向量[^1]。
- **内参矩阵 \(K\)** 包含焦距 \(f_x, f_y\) 和主点偏移 \(c_x, c_y\)，用于定义相机内部几何特性。
- **外参矩阵 \([R|t]\)** 描述了相机相对于世界坐标系的姿态和位置。
为了实现从世界坐标系到图像坐标的映射，需依次应用上述变换过程。反之，则可通过求解逆矩阵来恢复世界坐标。
```python
import numpy as np
def project_points(K, R, t, points_world):
"""
将世界坐标系下的点投影至图像平面。
参数:
K (np.ndarray): 内参矩阵 (3x3).
R (np.ndarray): 旋转矩阵 (3x3).
t (np.ndarray): 平移向量 (3x1).
points_world (np.ndarray): 世界坐标系下点集 (Nx3).
返回:
image_coords (np.ndarray): 图像坐标系下点集 (Nx2).
"""
P = np.hstack((R, t)) @ np.vstack((points_world.T, np.ones((1, points_world.shape[0]))))
uvw = K @ P
uv = uvw[:2, :] / uvw[2:, :]
return uv.T
```
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##### 题目2：设计实验验证径向畸变的影响并尝试对其进行矫正。
径向畸变是一种常见的镜头失真现象，表现为直线在成像过程中发生弯曲。可以通过多项式形式建模：
\[ x_{distorted} = x(1 + k_1r^2 + k_2r^4), \quad y_{distorted} = y(1 + k_1r^2 + k_2r^4). \]
纠正方法包括获取合适的畸变系数 (\(k_1, k_2\)) 及重新计算无畸变后的像素位置。
代码示例如下所示：
```python
def undistort_point(x_distorted, y_distorted, k1, k2):
r_squared = x_distorted**2 + y_distorted**2
correction_factor = 1 + k1 * r_squared + k2 * r_squared**2
x_corrected = x_distorted / correction_factor
y_corrected = y_distorted / correction_factor
return x_corrected, y_corrected
```
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##### 题目3：基于标定板数据估算相机内参。
此部分实践性强，推荐使用 OpenCV 提供的相关工具函数 `cv2.calibrateCamera` 完成自动化标定流程[^4]。输入条件应包含多组拍摄图片中标定点的真实三维坐标及对应二维投影坐标。
调用方式如下：
```python
import cv2
criteria = (cv2.TERM_CRITERIA_EPS + cv2.TERM_CRITERIA_MAX_ITER, 30, 0.001)
objp = np.zeros((6*9, 3), np.float32)
objp[:, :2] = np.mgrid[0:9, 0:6].T.reshape(-1, 2)
# 储存每张图的世界坐标与图像坐标
objpoints = []
imgpoints = []
for fname in images:
img = cv2.imread(fname)
gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, (9, 6), None)
if ret:
objpoints.append(objp)
refined_corners = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11, 11), (-1, -1), criteria)
imgpoints.append(refined_corners)
ret, mtx, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(objpoints, imgpoints, gray.shape[::-1], None, None)
print("Intrinsic Matrix:\n", mtx)
```
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#### 三、总结
以上是对《视觉SLAM十四讲》第二版第三讲课后习题的部分解析。需要注意的是，实际动手能力对于掌握 SLAM 技术至关重要，建议配合真实设备开展更多探索性工作。
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