17、重尾结构的分析近似与多尺度随机表示

重尾结构的分析近似与多尺度随机表示

1. 复杂模式的分析结果总结

在对复杂模式的研究中，通过将(23)、(29)、(31)和(30)式结合到贝叶斯分解(3)式中，并利用近似式(32)，得到了适用于复杂模式的重尾、对称概率密度函数（pdf）。对于 (x \in \mathbb{R})，其表达式为：
[
P[\text{Re}(u) = x] =
\left[
1 - (1 - \mu)\Phi(\eta)
\right]
\left(
\frac{2\overline{\gamma}|\gamma>0}{\pi\sigma^2}
\exp
\left(
-\frac{2\overline{\gamma}|\gamma>0}{\sigma^2}
x^2
\right)
\right)
+ (1 - \mu)
\frac{\sqrt{2\pi\overline{\gamma}|\gamma>0}}{2\sigma^2k \overline{T}^2}
\int_{0}^{|x|}
\int_{0}^{\infty}
\frac{\log(|x|/u_0)}{y^2(|x|/u_0)}
\exp
\left(
-\frac{(y + \hat{\gamma})^2}{2k^2}
- \frac{\pi}{4 \overline{T}^2y^2}
\log(|x|/u_0)^2
- \frac{2\overline{\gamma}|\gamma>0}{\sigma^2}