16、重尾结构的解析近似

重尾结构的解析近似

在许多复杂系统中，不稳定动力学的复杂性常与随机性相结合，这种随机性由持续的不稳定性以及外部激励的随机特性引入。随机激励的结构对系统响应的动力学起着重要作用，特别是当随机激励为有色噪声时，由于其可能大幅偏离均值进入“不安全区域”，触发隐藏的不稳定性，从而导致极端事件。因此，开发能够捕捉激励过程中相关性对间歇模式影响的分析方法至关重要。

问题设定与方法

• 概率空间与动力系统 ：设((\Theta, B, P))为概率空间，考虑一般动力系统(\dot{x} = G(x, t))，(x \in \mathbb{R}^n)。
• 极端事件假设 ：
  • A1 ：不稳定性足够罕见，可视为统计独立且持续时间有限。
  • A2 ：极端事件期间，受影响的模式具有解耦的动力学，且在增长阶段，不稳定性是主导机制。
  • A3 ：每次极端事件后有一个松弛阶段，使系统回到稳定的随机吸引子。
• 间歇模式表达 ：在上述假设下，每个间歇模式(u(t; \theta) \in \mathbb{R})可表示为(\dot{u} + \alpha(t; \theta)u + \varepsilon\zeta(u, v) = \varepsilon\xi(t; \theta))，其中(\varepsilon > 0)是小量，(\zeta(u,