hdu5698 组合数学(求组合数)

最新推荐文章于 2021-02-15 23:41:08 发布

原创最新推荐文章于 2021-02-15 23:41:08 发布 · 542 阅读

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本文介绍了一个组合数学问题的简化过程，通过巧妙运用组合恒等式将复杂求和问题转化为简单的组合数计算。并提供了一段C++代码实现，用于计算最终结果。

这题真的是有点烦人。
首先可以想到相当于是在左上角区域内选0到min(m-2,n-2)个点，然后求和。
(假设m<=n)也就是

\sum i = 0 m - 2 ∁ i m - 2 ∁ i n - 2

$\sum_{i=0}^{m-2}\complement_{m-2}^{i}\complement_{n-2}^{i}$
虽然这样已经可以AC了，但是这个式子是可以化简的。
要用到这样一个性质：

\sum i = 0 r ∁ i m + i = ∁ r m + r + 1

$\sum_{i=0}^{r}\complement_{m+i}^{i}=\complement_{m+r+1}^{r}$
证明如下：
首先知道,C(m-1,n)+C(m-1,n-1)=C(m,n),
然后：

\sum i = 0 r ∁ i m + i

$\sum_{i=0}^{r}\complement_{m+i}^{i}$

= ∁ 0 m + ∁ 1 m + 1 + ∁ 2 m + 2 + . . . + ∁ r m + r

$=\complement_{m}^{0}+\complement_{m+1}^{1}+\complement_{m+2}^{2}+...+\complement_{m+r}^{r}$

= ∁ 0 m + 1 + ∁ 1 m + 1 + ∁ 2 m + 2 + . . . + ∁ r m + r

$=\complement_{m+1}^{0}+\complement_{m+1}^{1}+\complement_{m+2}^{2}+...+\complement_{m+r}^{r}$

= ∁ 1 m + 2 + ∁ 2 m + 2 + . . . + ∁ r m + r

$=\complement_{m+2}^{1}+\complement_{m+2}^{2}+...+\complement_{m+r}^{r}$

= ∁ r m + r + 1

$=\complement_{m+r+1}^{r}$
套用这个性质，我们就可以得到答案就是C(m+n-4,m-2);
不过得到这个之后我就写了个分解素因数算了个组合数，然后就很糟心地TLE了.
正儿八经地写个逆元就不会T：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int mo=1e9+7;
long long jie[2*maxn];
int n,m;
long long Pow(long long a,int b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mo;
        a=a*a%mo;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void init()
{
    jie[0]=1;
    for(int i=1;i<2*maxn;i++) jie[i]=jie[i-1]*i%mo; 
}
long long cal(long long a,long long b)
{
    int temp=(jie[b]*jie[a-b])%mo;
    return (jie[a]*Pow(temp,mo-2))%mo;
}
int main()
{
    init();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    long long ans=cal(n+m-4,n-2);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}