LeetCode刷题笔记 - 64

最新推荐文章于 2021-09-06 22:46:12 发布

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#leetcode 64 动态规划

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本文介绍了一个典型的动态规划问题——寻找从二维网格左上角到右下角的路径，使得路径上的数字之和最小。提供了两种解决方案及其代码实现，并讨论了如何优化空间复杂度。

64 - 动态规划

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right which minimizes the sum of all numbers along its path.
Note: You can only move either down or right at any point in time.
Example:

Input:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
Output: 7

Explanation: Because the path 1→3→1→1→1 minimizes the sum.

代码如下：思路见注释

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int> >& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int> > dp(m, vector<int>(n)); // m rows, n cols
        // Recursive formula： dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
        // The initial value：
        //     dp[0][0] = grid[0][0]
        //     dp[0][j > 0] = dp[0][j-1] + grid[i][j]
        //     dp[i > 0][j] = dp[i-1][0] + grid[i][j]
        // Complexity: Time: O(m*n), Space: O(m * n)
        for (int i = 0; i < m; ++i){
            for (int j = 0; j < n; ++j){
                if (i == 0) { // 初始条件
                    if (j == 0) {
                        dp[i][j] = grid[i][j];
                    }
                    else {
                        dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                    }
                }
                else if (j == 0) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                }
                else // 递推
                    dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};

分析：初级方法时间复杂度和空间复杂度都太高，怎么优化？
可看出：

dp[i][j] 只与dp[i-1][j] ，dp[i][j-1]有关；
对每一个i，正向循环j；
- dp[j-1]不断更新，dp[j]还是旧的
- dp[j] = min(dp[j-1], dp[j]) + grid[i][j] 这样省掉了第一维
  其实就是我们不需要维护完整的m*n矩阵。维护两列就足够了，现在我们有了以下代码。

       int m = grid.size(), n = grid[0].size();
       vector<int> dp(n);
       for (int i = 0; i < m; ++i){
           for (int j = 0; j < n; ++j){
               if (i == 0) {
                   if (j == 0) {
                       dp[j] = grid[i][j]; 
                   }
                   else {
                       dp[j] = dp[j - 1] + grid[i][j];
                   }
               }
               else if (j == 0) {
                   dp[j] = dp[j] + grid[i][j];
               }
               else {
                   dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
               }
           }
       }
       return dp[n - 1];
       ```
待续....