【数论知识】2：欧拉函数

欧拉函数：

在数论中，对正整数n，欧拉函数是1~n中与n互质的数的个数，记作φ(n) 。

公式：

例如：n=6=23
则φ(n) =n(1-1/2)*(1-1/3)=2

证明：

利用容氏原理进行证明

1. 从1~n中去掉p1，p2，…，pk的所有倍数，即：r1=n-n/p1-n/p2-…-n/pk
2. 由于多去除了部分公共倍数，因此要加上加上所有pipj的倍数，即：r2=r1+n/(p1p2)+n/(p1p3)+…+n/(pk-1pk)
3. 减去所有pipjpk的倍数，即r3=r2-n/(p1p2p3)-n/(p1p3)-…-n/(pk-2pk-1*pk)
4. 以此类推，最终结果和欧拉展开项φ(n)相同

代码：

给n个正整数ai，求出每个数的欧拉函数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 2e5;
int p[N];

int main()
{
    int n;
    long long m;
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>m;
        memset(p,0,sizeof p);
        int res = m;
        int cnt = 0;
        for(int i = 2;i<=m/i;i++)
        {
            if(m%i==0){
                p[cnt++] = i;
                while(m%i==0) m/=i;
            }
        }
        if(m>1)res = res/m*(m-1);
        for(int i = 0;i<cnt;i++)res = res/p[i]*(p[i]-1);
        cout<<res<<endl;
    }
    
    return 0;
}