CodeVS 1710 生日蛋糕 题解

#include <cstdio>
using namespace std;

int N, M;
int ans = ~0u>>1;
bool flag;

void DFS(int R, int H, int V, int S, int m){
	if(S>ans)return;
	if(V>R*R*H*m)return;
	if(m && !V)return;
	if(!m && V)return;
	if(R<m)return;
	if(H<m)return;
	if(V<0)return;
	if(m<0)return;
	if(V==0 && m==0){
		if(ans > S)ans = S, flag = true;
		return;
	}
	for(int r = R; r>=m; --r)for(int h = H; h>=m; --h)DFS(r-1, h-1, V-r*r*h, S+2*r*h, m-1);
}

int main() {
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int R = 70; R>=M; --R)for(int H = (N/R/R); H>=M; --H)DFS(R-1, H-1, N-R*R*H, R*R+2*R*H, M-1);
	if(flag) printf("%d\n", ans);
	else printf("0\n");
	return 0;
}

 

### 解题思路 洛谷 P4160 [SCOI2009] 生日快乐 这道题的核心在于递归与分治策略。题目要求将一个矩形蛋糕切成若干块,使得每一块的长宽比的最大值最小。由于每一块的长宽比是独立的,因此可以通过递归的方法,将问题分解为子问题来求解。 #### 核心思路: 1. **递归切分**:每次将蛋糕分成两部分,并递归地对这两部分进行同样的操作,直到只剩一块为止。 2. **枚举切分方式**:对于每一层递归,需要枚举所有可能的切分方式(横向或纵向),以及每一块的大小比例。 3. **取最大值与最小值**:每一步递归中,选择切分方式使得两部分的最大长宽比尽可能小。 #### 关键点: - **长宽比处理**:为了保证长宽比的计算准确,需要确保长边在分子,短边在分母。 - **切分方式枚举**:枚举所有可能的切分比例,确保没有遗漏。 - **递归终止条件**:当只剩一块时,直接返回当前长宽比。 ### 代码示例 以下是一个完整的代码实现,展示了如何通过递归方法解决这个问题: ```cpp #include <iostream> #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; int x, y, n; // 计算最大公约数 int gcd(int x, int y) { if (y == 0) return x; return gcd(y, x % y); } // 递归函数,用于计算最小的长宽比 double qie(int x, int y, int n) { if (x < y) swap(x, y); // 保证x是较长边 int g = gcd(x, y); if (g != 1) { x /= g; y /= g; } if (n == 1) return static_cast<double>(x) / y; // 终止条件 double ans = 10000000; for (int i = 1; i < n; ++i) { // 横向切分 ans = min(ans, max(qie(x * i, y * n, i), qie(x * (n - i), y * n, n - i))); // 纵向切分 ans = min(ans, max(qie(x * n, y * i, i), qie(x * n, y * (n - i), n - i))); } return ans; } int main() { scanf("%d%d%d", &x, &y, &n); printf("%.6lf\n", qie(x, y, n)); return 0; } ``` ### 代码解析 1. **gcd函数**:用于化简长宽比,避免浮点数计算误差。 2. **qie函数**: - 首先交换长宽,确保长边在前。 - 化简长宽比的分数,避免重复计算。 - 递归终止条件:当只剩一块时,返回长宽比。 - 枚举所有可能的切分方式,取最小的长宽比。 3. **main函数**:读取输入并调用递归函数,输出结果。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于每次递归会枚举所有可能的切分方式,时间复杂度为指数级,但由于数据范围较小,可以通过递归直接解决。 - **空间复杂度**:递归深度由切分次数决定,空间复杂度较低。 ### 总结 这道题通过递归的方式,将大问题分解为子问题,结合枚举所有可能的切分方式,最终找到最优解。递归与分治策略是解决此类问题的核心思想。 ---
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