【动态规划】程序员面试金典——11.7叠罗汉I

程序员面试金典——11.7叠罗汉I

首先我来批判一下这个题目出的真是不咋滴，后来的人按理说应该在上面。但此题的意思是求最长递增子序列，即后来的人在下面，完全是为了出题而出题。。。
参考博客：
[1]https://blog.youkuaiyun.com/sjt19910311/article/details/51439614
[2]https://blog.youkuaiyun.com/sjt19910311/article/details/50544908
Solution1：动态规划，复杂度$O(n^2)$。
复杂度非最优，但思想易于理解且代码简练。
res[i]表示必须以i 元素结尾的最长递增子序列的长度， 如何得出这个长度呢？
res[i]等于men[0,…,i - 1]中比men[i]小的元素对应的dp值 + 1

class Stack {
public:
    int getHeight(vector<int> men, int n) {
        // write code here
        vector<int> dp(n,1);
        int ret = 0;
        for(int i = 1;i<n;++i) {
            for(int j = 0;j<i;++j) {
                if(men[j] < men[i])
                    dp[i] = max(dp[j] + 1,dp[i]);
            }
            ret = max(ret,dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

Solution2：利用二分查找，把时间复杂度降至$O(nlogn)$
维护一个单调序列，遍历nums数组，二分查找每一个数在单调序列中的位置，然后替换之。
具体而言：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4938187.html（LeetCode300，此链接内有详细解法）
我们来看一种思路更清晰的二分查找法，跟上面那种方法很类似，思路是先建立一个空的dp数组，然后开始遍历原数组，对于每一个遍历到的数字，我们用二分查找法在dp数组找第一个不小于它的数字，如果这个数字不存在，那么直接在dp数组后面加上遍历到的数字，如果存在，则将这个数字更新为当前遍历到的数字，最后返回dp数字的长度即可，注意的是，跟上面的方法一样，特别注意的是dp数组的值可能不是一个真实的LIS。参见代码如下：

class Stack {
public:
    int getHeight(vector<int> men, int n) {
        // write code here
        vector<int> dp;
        for(int i = 0; i < men.size(); ++i) {
            int low = 0, high = dp.size();
            while(low < high) {
                int mid = (low + high) / 2;
                if(dp[mid] < men[i]) //最终循环退出的条件是low == high,且dp[low]是第一个>=men[i]的数字
                    low = mid +1;
                else 
                    high = mid;
            }
            if(low >= dp.size())
                dp.push_back(men[i]);  
            else  
                dp[low] = men[i];  
        }
        return dp.size();  
    }
};