kedaOj P009输出不定方程解的个数

本文介绍了如何解决一个数学问题,即给定系数a、b和c,寻找不定方程ax+by+c=0在0到10000范围内非负整数解的组数。文章提供了特殊情况处理、简化方程、枚举和优化等解题思路。

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题目描述

[语言题]输出不定方程解的个数。在数学中,不定方程是数论中的一个重要课题,在各种比赛中也常常出现。对于不定方程,有时我们往往只求非负整数解,现有方程 ax+by+c=0,其中 abc 为已知数,xy 为未知量且不超过 10000,当给定 abc 的值以后,可求出 nxy 的非负整数解,n≥0,其中 abc 均为 [-10000, 10000]。

输入格式

一行,三个空格隔开的整数,为 abc 的值。

输出格式

一个整数,为合法的解的组数

样例

输入:

3 2 -2

输出

1

数据范围与提示

-10000 ≤ a,b,c ≤ 10000;

0 ≤ x,y ≤ 10000;

解题思路

1. 特殊情况处理:

  • 如果 ab 同时为 0,则需要检查 c 是否也为 0。如果 c 也为 0,意味着对于所有 xy 都是解,因此解的个数是无穷多个;如果 c 不为 0,则无解。
  • 如果 ab 其中一个为 0,另一个不为 0,则可以直接求解另一个变量,查看是否存在非负整数解。

2. 简化方程:

  • 如果 ab 都不为 0,可以尝试将方程简化。特别是,如果 cab 的公倍数,则可以直接计算解的数量。

3. 枚举和优化:

  • 由于 xy 的取值范围是有限的(从 010000),可以尝试枚举 xy 的所有可能值,并为每个值计算另一个变量的值,检查是否为非负整数。
  • 为减少枚举范围,应优先枚举系数较小的变量,这样可以减少计算量。

4. 求解方程:

  • 对于每个枚举的 x 值,计算 y = (-ax - c) / b,然后检查 y 是否为非负整数。如果 b 不能整除 -ax - c,则说明当前的 x 没有对应的 y 解。

5. 计数:

  • 每次找到一个有效的 (x, y) 解时,将计数器加一。

6. 输出结果:

  • 最后输出计数器的值,这就是题目要求的合法解的组数。

注意:在编写程序时要特别注意处理整除性和符号问题,以及避免可能出现的整数溢出问题。如果使用 scanfprintf 进行输入和输出,还需要确保使用正确的格式说明符。

参考代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);

    // 特殊情况处理
    if(a == 0 && b == 0) {
        if(c == 0) {
            printf("Infinite\n"); // 无穷多解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    if(a == 0) {
        if(c % b == 0 && -c / b >= 0) {
            printf("1\n"); // 只有一个解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    if(b == 0) {
        if(c % a == 0 && -c / a >= 0) {
            printf("1\n"); // 只有一个解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    // 主循环来枚举所有可能的x值并计算y值
    int count = 0;
    for(int x = 0; x <= 10000; x++) {
        // 计算 y = (-ax - c) / b
        // 需要确保 b 不为0(前面已处理)并且能够整除 -ax - c
        if((a * x + c) % b == 0) {
            int y = (-a * x - c) / b;
            if(y >= 0) {
                count++;
            }
        }
    }

    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

另一种更简洁的解法:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a, b, c, x, y, cnt = 0;
    cin >> a >> b >> c;
    for(x = 0; x <= 10000; x++){//直接从1枚举倒10000
    	y =- (a*x+c)/b;
    	if(y >= 0 && y <= 10000 && a * x + b * y + c == 0){//判断方程是否有解
    		cnt++;//如果有解,计数器加一
		}
	}
	cout << cnt << endl;
    return 0;
}

这一种方法没有优化枚举的次数,但是比较简单,但是遇到较大的数据可能会TLE。如果解比较大,那么这个代码就会查找不出来。】
所以还是用第一种方法更好。

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