kedaOj P009输出不定方程解的个数

原创已于 2024-02-11 14:38:12 修改 · 712 阅读

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#c++ #算法

于 2024-02-11 14:37:30 首次发布

本文介绍了如何解决一个数学问题，即给定系数a、b和c，寻找不定方程ax+by+c=0在0到10000范围内非负整数解的组数。文章提供了特殊情况处理、简化方程、枚举和优化等解题思路。

题目描述

[语言题]输出不定方程解的个数。在数学中，不定方程是数论中的一个重要课题，在各种比赛中也常常出现。对于不定方程，有时我们往往只求非负整数解，现有方程 ax+by+c=0，其中 a、b、c 为已知数，x、y 为未知量且不超过 10000，当给定 a、b、c 的值以后，可求出 n 组 x、y 的非负整数解，n≥0，其中 a，b，c 均为 [-10000, 10000]。

输入格式

一行，三个空格隔开的整数，为 a、b、c 的值。

输出格式

一个整数，为合法的解的组数

样例

输入：

3 2 -2

输出

数据范围与提示

-10000 ≤ a，b，c ≤ 10000;

0 ≤ x，y ≤ 10000;

解题思路

1. 特殊情况处理：

如果 a 和 b 同时为 0，则需要检查 c 是否也为 0。如果 c 也为 0，意味着对于所有 x 和 y 都是解，因此解的个数是无穷多个；如果 c 不为 0，则无解。
如果 a 或 b 其中一个为 0，另一个不为 0，则可以直接求解另一个变量，查看是否存在非负整数解。

2. 简化方程：

如果 a 和 b 都不为 0，可以尝试将方程简化。特别是，如果 c 是 a 和 b 的公倍数，则可以直接计算解的数量。

3. 枚举和优化：

由于 x 和 y 的取值范围是有限的（从 0 到 10000），可以尝试枚举 x 或 y 的所有可能值，并为每个值计算另一个变量的值，检查是否为非负整数。
为减少枚举范围，应优先枚举系数较小的变量，这样可以减少计算量。

4. 求解方程：

对于每个枚举的 x 值，计算 y = (-ax - c) / b，然后检查 y 是否为非负整数。如果 b 不能整除 -ax - c，则说明当前的 x 没有对应的 y 解。

5. 计数：

每次找到一个有效的 (x, y) 解时，将计数器加一。

6. 输出结果：

最后输出计数器的值，这就是题目要求的合法解的组数。

注意：在编写程序时要特别注意处理整除性和符号问题，以及避免可能出现的整数溢出问题。如果使用 scanf 和 printf 进行输入和输出，还需要确保使用正确的格式说明符。

参考代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int a, b, c;
    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);

    // 特殊情况处理
    if(a == 0 && b == 0) {
        if(c == 0) {
            printf("Infinite\n"); // 无穷多解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    if(a == 0) {
        if(c % b == 0 && -c / b >= 0) {
            printf("1\n"); // 只有一个解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    if(b == 0) {
        if(c % a == 0 && -c / a >= 0) {
            printf("1\n"); // 只有一个解
        } else {
            printf("0\n"); // 无解
        }
        return 0;
    }

    // 主循环来枚举所有可能的x值并计算y值
    int count = 0;
    for(int x = 0; x <= 10000; x++) {
        // 计算 y = (-ax - c) / b
        // 需要确保 b 不为0（前面已处理）并且能够整除 -ax - c
        if((a * x + c) % b == 0) {
            int y = (-a * x - c) / b;
            if(y >= 0) {
                count++;
            }
        }
    }

    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

另一种更简洁的解法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a, b, c, x, y, cnt = 0;
    cin >> a >> b >> c;
    for(x = 0; x <= 10000; x++){//直接从1枚举倒10000
    	y =- (a*x+c)/b;
    	if(y >= 0 && y <= 10000 && a * x + b * y + c == 0){//判断方程是否有解
    		cnt++;//如果有解，计数器加一
		}
	}
	cout << cnt << endl;
    return 0;
}