题目描述
[语言题]输出不定方程解的个数。在数学中,不定方程是数论中的一个重要课题,在各种比赛中也常常出现。对于不定方程,有时我们往往只求非负整数解,现有方程 ax+by+c=0
,其中 a
、b
、c
为已知数,x
、y
为未知量且不超过 10000,当给定 a
、b
、c
的值以后,可求出 n
组 x
、y
的非负整数解,n≥0
,其中 a
,b
,c
均为 [-10000, 10000]。
输入格式
一行,三个空格隔开的整数,为 a
、b
、c
的值。
输出格式
一个整数,为合法的解的组数
样例
输入:
3 2 -2
输出
1
数据范围与提示
-10000 ≤ a,b,c ≤ 10000;
0 ≤ x,y ≤ 10000;
解题思路
1. 特殊情况处理:
- 如果
a
和b
同时为0
,则需要检查c
是否也为0
。如果c
也为0
,意味着对于所有x
和y
都是解,因此解的个数是无穷多个;如果c
不为0
,则无解。 - 如果
a
或b
其中一个为0
,另一个不为0
,则可以直接求解另一个变量,查看是否存在非负整数解。
2. 简化方程:
- 如果
a
和b
都不为0
,可以尝试将方程简化。特别是,如果c
是a
和b
的公倍数,则可以直接计算解的数量。
3. 枚举和优化:
- 由于
x
和y
的取值范围是有限的(从0
到10000
),可以尝试枚举x
或y
的所有可能值,并为每个值计算另一个变量的值,检查是否为非负整数。 - 为减少枚举范围,应优先枚举系数较小的变量,这样可以减少计算量。
4. 求解方程:
- 对于每个枚举的
x
值,计算y = (-ax - c) / b
,然后检查y
是否为非负整数。如果b
不能整除-ax - c
,则说明当前的x
没有对应的y
解。
5. 计数:
- 每次找到一个有效的
(x, y)
解时,将计数器加一。
6. 输出结果:
- 最后输出计数器的值,这就是题目要求的合法解的组数。
注意:在编写程序时要特别注意处理整除性和符号问题,以及避免可能出现的整数溢出问题。如果使用 scanf
和 printf
进行输入和输出,还需要确保使用正确的格式说明符。
参考代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int a, b, c;
scanf("%d %d %d", &a, &b, &c);
// 特殊情况处理
if(a == 0 && b == 0) {
if(c == 0) {
printf("Infinite\n"); // 无穷多解
} else {
printf("0\n"); // 无解
}
return 0;
}
if(a == 0) {
if(c % b == 0 && -c / b >= 0) {
printf("1\n"); // 只有一个解
} else {
printf("0\n"); // 无解
}
return 0;
}
if(b == 0) {
if(c % a == 0 && -c / a >= 0) {
printf("1\n"); // 只有一个解
} else {
printf("0\n"); // 无解
}
return 0;
}
// 主循环来枚举所有可能的x值并计算y值
int count = 0;
for(int x = 0; x <= 10000; x++) {
// 计算 y = (-ax - c) / b
// 需要确保 b 不为0(前面已处理)并且能够整除 -ax - c
if((a * x + c) % b == 0) {
int y = (-a * x - c) / b;
if(y >= 0) {
count++;
}
}
}
printf("%d\n", count);
return 0;
}
另一种更简洁的解法:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
int a, b, c, x, y, cnt = 0;
cin >> a >> b >> c;
for(x = 0; x <= 10000; x++){//直接从1枚举倒10000
y =- (a*x+c)/b;
if(y >= 0 && y <= 10000 && a * x + b * y + c == 0){//判断方程是否有解
cnt++;//如果有解,计数器加一
}
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
这一种方法没有优化枚举的次数,但是比较简单,但是遇到较大的数据可能会TLE。如果解比较大,那么这个代码就会查找不出来。】
所以还是用第一种方法更好。