信息与未来2015真题笔记

[信息与未来 2015] 加数

题目描述

给出一个正整数 $n$，在 $n$ 的右边加入 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，然后在新数的右边
再加入 $\lfloor \frac{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }{2}\rfloor$，一直这样进行下去，直到加入的数为 $0$ 为止（注意，$0$ 不应当被加入）。

求加数结束后新数的长度。

输入格式

一行一个整数 $n$。

输出格式

一行一个整数，为加数结束后新数的长度。

样例 #1

样例输入 #1

37

样例输出 #1

8

提示

样例解释

• $\lfloor \frac{37}{2}\rfloor =18$，加到 $n$ 的右边成为 $3718$；
• $\lfloor \frac{18}{2}\rfloor =9$，加到新数的右边成为 $37189$；
• $\lfloor \frac{9}{2}\rfloor =4$，加到新数的右边成为 $371894$；
• $\lfloor \frac{4}{2}\rfloor =2$，加到新数的右边成为 $3718942$；
• $\lfloor \frac{2}{2}\rfloor =1$，加到新数的右边成为 $37189421$；
• $\lfloor \frac{1}{2}\rfloor =0$，加数结束，最后得到的数是一个 $8$ 位数。

数据范围

$1\le n\le 10^5$。

思路

直接模拟，判断位数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;

int n; 
int sum;

void solve()
{
	cin >> n;
	while (n)
	{
		int m = n,num = 0;
		while (m)
			m /= 10,num++;
		sum += num;
		n /= 2;
	}
	cout << sum;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 中间值

题目描述

给出一个正整数 $n$，生成长度为 $n$ 的数列 $a$，其中 $a_i=i(1\le i\le n)$。

• 若 $n$ 为奇数，则输出 $a$ 的中间数（位于 $a$ 正中位置的数）；
• 若 $n$ 为偶数，则输出位于 $a$ 中间两个数的和。

输入格式

一个正整数 $n$。

输出格式

一个正整数。若 $n$ 为奇数，则输出其中间值；若 $n$ 为偶数，则输出两个中间值的和。

样例 #1

样例输入 #1

9

样例输出 #1

5

样例 #2

样例输入 #2

10

样例输出 #2

11

提示

$1\le n\le 10^{18}$。

思路

若 $n$ 为奇数，则答案为 $n÷2+1$；
若 $n$ 为偶数，则答案为 $n+1$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;

void solve()
{
	cin >> n;
	if (n % 2)
		cout << n/2+1;
	else
		cout << n+1;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 买木头

题目描述

有 $n$ 个木材供应商，每个供应商有长度相同的一定数量的木头。长木头可以锯短，但短木头不能接长。有一个客人要求 $m$ 根长度相同的木头，要求计算出：此时供货商提供的木头满足客人要求的最大长度是多少。

例如 $n=2,m=30$，两个供货商的木头为：

• $12,10$（第 $1$ 个供货商的木头长度为 $12$，共有 $10$ 根）；
• $5,10$（第 $2$ 个供货商的木头长度为 $5$，共有 $10$ 根）。

计算的结果为 $5$，即长度为 $12$ 的木头一根可锯出两根长度为 $5$ 的木头，多余的无用；长度为 $5$ 的木头不动，此时，可以得到 $30$ 根长度为 $5$ 的木头。

输入格式

一行四个整数 $n,m,l_1,s_1$。其中 $l_1$ 是第一个供货商木头的长度，$s_1$ 是第一个供货商木头的数量。其他供货商木头
的长度和数量 $l_i$ 和 $s_i(i\ge 2)$由下面的公式给出：

• $l_i=((l_{i-1}\times 37011+10193)\mathrm{mod}10000)+1$；
• $s_i=((s_{i-1}\times 73011+24793)\mathrm{mod}100)+1$。

输出格式

一个整数，即满足要求的 $m$ 根长度相同的木头的最大长度。

样例 #1

样例输入 #1

10 10000 8 20

样例输出 #1

201

提示

$1\le n\le 10^4,1\le m\le 10^6,1\le l_1\le 10^4,1\le s_1\le 100$。

思路

二分木头的长度，每次 check 判断数量是否足够。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int a[10010],b[10010];

bool judge(int x)
{
	int sum = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		sum += a[i]/x*b[i];
	return sum >= m;
}

void solve()
{
	cin >> n >> m >> a[1] >> b[1];
	for (int i = 2;i <= n;i++)
		a[i] = ((a[i-1]*37011+10193)%10000) + 1;
	for (int i = 2;i <= n;i++)
		b[i] = ((b[i-1]*73011+24793)%100) + 1;
	int l = 1,r = 10000,best;
	while (l <= r)
	{
		int mid = (l+r)/2;
		if (judge(mid))
			best = mid,l = mid+1;
		else
			r = mid-1;
	}
	cout << best;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 拴奶牛

题目描述

有 $n$ 头奶牛，有 $k$ 个木桩，每个木桩有一个位置，一个木桩上只能拴一头奶牛。由于奶牛好斗，所以在拴奶牛的时候，要求距离最近的奶牛的距离尽可能大。

例如 $n=4,k=6$，木桩的位置为 $0,3,4,7,8,9$，此时为下图。
KaTeX parse error: Unexpected end of input in a macro argument, expected '}' at position 12: \underline\̲t̲e̲x̲t̲{\qquad O\quad …
有许多种拴牛方案，例如：

• $0,3,4,9$：此时最近距离为 $1$（$3,4$ 之间）；
• $0,3,7,9$：此时最近距离为 $2$。

输入格式

三个整数 $n,k,p_1$，其中 $p_1$ 为第 $1$ 个木桩的位置，其他木桩 $p_i(i\ge 2)$ 的位置由下面公式给出：

$p_i=p_{i-1}+((p_{i-1}\times 2357+137)\mathrm{mod}10)+1$。

输出格式

一个整数，即奶牛间最近距离的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

25 70 99

样例输出 #1

12

提示

$1\le n\le k\le 10^6,0\le p_1\le 100$。

思路

二分两只牛之间的距离，每次 check 判断木桩是否足够。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n,m;
int a[1000010];

bool judge(int x)
{
	int last = 1,num = 1;
	for (int i = 2;i <= m;i++)
		if (a[i]-a[last] >= x)
			num++,last = i;
	return num >= n;
}

void solve()
{
	cin >> n >> m >> a[1];
	for (int i = 2;i <= m;i++)
		a[i] = a[i-1] + ((a[i-1]*2357+137) % 10) + 1;
	int l = 1,r = 1e9,best;
	while (l <= r)
	{
		int mid = (l+r)/2;
		if (judge(mid))
			best = mid,l = mid+1;
		else
			r = mid-1;
	}
	cout << best;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 分数计数

题目描述

有 $n$ 个球队，编号为 $1\sim n$，共进行 $n$ 场比赛，每场比赛有一个胜队。计分方法如下：

• 是连胜中的第一次胜利，则本次胜利得 $1$ 分。
• 是连胜中的第二次胜利，则本次胜利得 $2$ 分。
• 是连胜中的第三次胜利，则本次胜利得 $3$ 分。
• 连胜超过三次以上的胜场，每场得 $3$ 分。

例如 $n=12$，比赛的胜队为 $1,2,1,1,3,2,1,1,1,1,4,2$，计分如下：

• 队 $1$：$1+1+2+1+2+3+3=13$ 分；
• 队 $2$：$1+1+1=3$ 分；
• 队 $3\sim 4$：$1$ 分。
• 队 $5\sim 12$：$0$ 分。

求得分最多的队伍的分数。

输入格式

两个整数 $n,x_1$，$n$ 为球队数，$x_1$ 为第一次胜队号，第 $i(i\ge 2)$ 场比赛胜队的编号由
以下公式确定：

$x_i=((x_{i-1}\times 3703+1047)\mathrm{mod}n)+1$。

输出格式

一个整数，即得分最多队的分数。

样例 #1

样例输入 #1

10 5

样例输出 #1

3

提示

$1\le x_1\le n\le 10^6$。

思路

按照题目要求模拟。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int a[1000010],sum[1000010];

void solve()
{
	cin >> n >> a[1];
	for (int i = 2;i <= n;i++)
		a[i] = ((a[i-1]*3703+1047)%n) + 1;
	int now = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if (a[i] == a[i-1])
			now++;
		else
			now = 1;
		if (now >= 3)
			sum[a[i]] += 3;
		else
			sum[a[i]] += now;
	}
	int mx = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		mx = max(mx,sum[i]);
	cout << mx; 
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 求回文数

题目描述

一个正整数，正读和反读都相同的数为回文数，例如 $22,131,2442,37073,6,\cdots$。所有的 $1$ 位数都是回文数。

现给出一个正整数 $n$，求出 $[1,n]$ 中的回文数的个数。

输入格式

一个整数 $n$。

输出格式

一个整数，即 $1\sim n$ 中全部回文数的个数。

样例 #1

样例输入 #1

24

样例输出 #1

11

提示

样例解释

在 $1$ 至 $24$ 中，回文数有 $1\sim 9,11,22$，共 $11$ 个。

数据范围

$1\le n\le 10^4$。

思路

枚举。从 $1$ 枚举到 $n$，然后判断是否为回文数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int sum;

bool judge(int x)
{
	int y = x,numa = 0;
	while (y)
		numa = numa*10+y%10,y /= 10;
	if (numa == x)
		return true;
	return false;
}

void solve()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		if (judge(i))
			sum++;
	cout << sum;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 连续数的和

题目描述

给出两个整数 $n$ 和 $k$，求出 $1\sim n$ 中连续 $k$ 个数的和为完全平方数的个数。

输入格式

一行两个整数 $n,k$。

输出格式

一行一个整数，即 $1\sim n$ 中连续 $k$ 个数的和为平方数的个数。

样例 #1

样例输入 #1

10 3

样例输出 #1

1

提示

样例解释

在 $1\sim 10$ 中，连续 $3$ 个数的和有：

• $1+2+3=6$；
• $2+3+4=9=3^2$；
• $3+4+5=12$；
• $4+5+6=15$；
• $5+6+7=18$；
• $6+7+8=21$；
• $7+8+9=24$；
• $8+9+10=27$。

故只有 $1$ 个。

数据范围

$2\le n\le 7\times 10^4,1\le k\le n$。

思路

枚举所有情况，判断是否为平方数。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

void solve()
{
	int n,k;
	cin >> n >> k;
	int now = (1+k)*k/2,sum = 0;
	for (int i = k;i <= n;i++)
	{
		if ((int)(sqrt(now))*(int)(sqrt(now)) == now)
			sum++;
		now -= (i-k+1);
		now += i+1;
	}
	cout << sum;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}

[信息与未来 2015] 夏令营小旗手

题目描述

$2015$ 年江苏省“信息与未来”小学夏令营在洪泽县实验小学进行，组委会决定在洪泽实验小学的学生中挑选一名小旗手，推选方法如下：

洪泽实验小学有 $n$ 名学生，每名学生有一个学号，学号为 $1\sim n$。同时，每名同学有一张选票，可以推选一名同学为小旗手，最后，得票最多者当选；若得票最有多名（票数相同），则学号小者当选。

例如 $n=8$，选票为 $2,3,4,4,3,4,1,6$，$4$ 号学生得票最多（$3$ 票），当选小旗手。

输入格式

两个整数 $n,x_1$，$n$ 为学生数，$x_1$ 为第一个选票上的学号，之后的选票 $x_i(i\ge 2)$ 由下面的递推关系给出：

$x_i=((x_{i-1}\times 37+33031)\mathrm{mod}n)+1$。

其中 $\mathrm{mod}$ 为取余运算。例如，$13\mathrm{mod}8=5,21\mathrm{mod}21=0$。根据这个公式，就能从 $x_1$ 推出 $x_{2\sim n}$。

输出格式

一个整数，即选出的小旗手的学号。

样例 #1

样例输入 #1

5 2

样例输出 #1

2

提示

样例解释

x={2,1,4,5,2}x=\{2,1,4,5,2\}x={2,1,4,5,2}，$2$ 号选手票数最多。

数据范围

$1\le x_1\le n\le 10^3$。

思路

先算出每个人的投票，然后用 vis 记录求出最大值。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int vis[1010];

void solve()
{
	int n,m;
	cin >> n >> m;
	vis[m]++;
	for (int i = 2;i <= n;i++)
	{
		m = ((m*37 + 33031)%n) + 1;
		vis[m]++;
	}
	int mx = 0,pos = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++)
		if (mx < vis[i])
		{
			mx = vis[i];
			pos = i;
		}
	cout << pos;
}

signed main()
{
	solve();
	return 0;
}