数学学习笔记1——二次函数中的数形结合

二次函数中的数形结合

一、解一元二次不等式

基本方法：配方。

$x^2-4x+3<0\to (x-2{)}^2<1\to |x-2|<1\to 1<x<3$

数形结合：$y=x^2-4x+3<0\to y=(x-1)(x-3)<0\to 1<x<3$

练习：

1. $2x^2-x-1\ge 0\to (2x+1)(x-1)\ge 0\to x\le -\frac{1}{2}\mathrm{or}x\ge 1$
2. $-x^2+x+1\ge 0\to \frac{1-\sqrt{5}}{2}\le x\le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
3. $3x^2-x+1<0\Delta =1-12<0\to$ 无解

二、数形结合判断根的范围 重点

前置知识

区间根定理：若连续¹函数 $f(x)$ 再区间 $[a,b]$ 的两端函数值异号，则 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内必有根。

¹：不包括反比例函数等非连续函数。

三个事：

1. 特殊值
2. 对称轴
3. 判别式

练习：

1. $f(x)=x^2+x+a=0$ 的两根中一个大于 $3$，一个小于 $3$。
   $f(3)<0$ 足矣。
2. $f(x)=x^2+x+a=0$ 的两根都在 $(-1,3)$ 内。

• $f(-1)>0$
• $f(3)>0$
• $-1<$ 轴 $<3$
• $\Delta \ge 0$

三、例题

解不等式 $2x^2-3x-2>0$。
$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)>0\to x<-\frac{1}{2}\mathrm{or}x>2$

解不等式 $-x^2-2x+$