数学学习笔记1——二次函数中的数形结合

二次函数中的数形结合

一、解一元二次不等式

基本方法:配方。

x2−4x+3<0→(x−2)2<1→∣x−2∣<1→1<x<3x^2-4x+3<0\to(x-2)^2<1\to\lvert x-2\rvert<1\to1<x<3x24x+3<0(x2)2<1x2<11<x<3

数形结合:y=x2−4x+3<0→y=(x−1)(x−3)<0→1<x<3y=x^2-4x+3<0\to y=(x-1)(x-3)<0\to1<x<3y=x24x+3<0y=(x1)(x3)<01<x<3
在这里插入图片描述
练习:

  1. 2x2−x−1≥0→(2x+1)(x−1)≥0→x≤−12or⁡x≥12x^2-x-1\ge0\to(2x+1)(x-1)\ge0\to x\le-\cfrac{1}{2}\operatorname{or}x\ge12x2x10(2x+1)(x1)0x21orx1
  2. −x2+x+1≥0→1−52≤x≤1+52-x^2+x+1\ge0\to\cfrac{1-\sqrt5}{2}\le x\le\cfrac{1+\sqrt5}{2}x2+x+10215x21+5
  3. 3x2−x+1<0 Δ=1−12<0→3x^2-x+1<0\ \Delta=1-12<0\to3x2x+1<0 Δ=112<0 无解

二、数形结合判断根的范围 重点

前置知识

区间根定理:若连续1函数 f(x)f(x)f(x) 再区间 [a,b][a,b][a,b] 的两端函数值异号,则 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 内必有根。

1:不包括反比例函数等非连续函数。

三个事:

  1. 特殊值
  2. 对称轴
  3. 判别式

练习:

  1. f(x)=x2+x+a=0f(x)=x^2+x+a=0f(x)=x2+x+a=0 的两根中一个大于 333,一个小于 333
    f(3)<0f(3)<0f(3)<0 足矣。
  2. f(x)=x2+x+a=0f(x)=x^2+x+a=0f(x)=x2+x+a=0 的两根都在 (−1,3)(-1,3)(1,3) 内。
  • f(−1)>0f(-1)>0f(1)>0
  • f(3)>0f(3)>0f(3)>0
  • −1<-1<1<<3<3<3
  • Δ≥0\Delta\ge0Δ0

三、例题

解不等式 2x2−3x−2>02x^2-3x-2>02x23x2>0
2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)>0→x<−12or⁡x>22x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)>0\to x<-\cfrac{1}{2} \operatorname{or} x>22x23x2=(2x+1)(x2)>0x<21orx>2

解不等式 −x2−2x+3≥0-x^2-2x+3\ge0x22x+30
−x2−2x+3=(−x+1)(x+3)≥0→−3≤x≤1-x^2-2x+3=(-x+1)(x+3)\ge0\to-3\le x\le1x22x+3=(x+1)(x+3)03x1

解不等式 3x2−x+2>03x^2-x+2>03x2x+2>0
Δ=−23<0→x\Delta=-23<0\to xΔ=23<0x 为任意数

已知实数 x,yx,yx,y 满足 x2+y2+2x−3=0x^2+y^2+2x-3=0x2+y2+2x3=0,则 2x2+y22x^2+y^22x2+y2 的最大值为________.
分析:消元。利用平方数求范围。
∵y2=3−x2−2x≥0\because y^2=3-x^2-2x\ge0y2=3x22x0
∴−3≤x≤1\therefore-3\le x\le13x1
∴2x2+y2=2x2+3−x2−2x=x2−2x+3=(x−1)2+2\therefore2x^2+y^2=2x^2+3-x^2-2x=x^2-2x+3=(x-1)^2+22x2+y2=2x2+3x22x=x22x+3=(x1)2+2
∴\thereforex=−3x=-3x=3 时,max⁡=18\max=18max=18

若关于 xxx 的一元二次方程 x2+(m−5)x+m−2=0x^2+(m-5)x+m-2=0x2+(m5)x+m2=0 有实根,且一根大于 111,另一根小于 222,则实数 mmm 的取值范围为________________.
分析:数形结合后可得 f(2)<0f(2)<0f(2)<0,即可代入原函数求出 mmm 的取值范围。

  • f(2)<0→4+2(m−5)+m−2=3m−8<0→m<83f(2)<0\to4+2(m-5)+m-2=3m-8<0\to m<\cfrac{8}{3}f(2)<04+2(m5)+m2=3m8<0m<38

∴m<83\therefore m<\cfrac{8}{3}m<38

若关于 xxx 的一元二次方程 x2−(2−a)x+5−a=0x^2-(2-a)x+5-a=0x2(2a)x+5a=0 有实根,且一根在区间 (0,2)(0,2)(0,2) 内,另一根在区间 4,64,64,6 内,则实数 aaa 的取值范围为________________.
分析:数形结合后可得 f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0f(0)>0,f(2)<0,f(4)<0,f(6)>0,即可代入原函数求出 aaa 的取值范围。

  • f(0)>0→5−a>0→a<5f(0)>0\to5-a>0\to a<5f(0)>05a>0a<5
  • f(2)<0→4−2(2−a)+5−a=a+5<0→a<−5f(2)<0\to4-2(2-a)+5-a=a+5<0\to a<-5f(2)<042(2a)+5a=a+5<0a<5
  • f(4)<0→16−4(2−a)+5−a=3a+13<0→a<−133f(4)<0\to16-4(2-a)+5-a=3a+13<0\to a<-\cfrac{13}{3}f(4)<0164(2a)+5a=3a+13<0a<313
  • f(6)>0→36−6(2−a)+5−a=5a+29>0→a>−295f(6)>0\to36-6(2-a)+5-a=5a+29>0\to a>-\cfrac{29}{5}f(6)>0366(2a)+5a=5a+29>0a>529

∴−295<a<−5\therefore-\cfrac{29}{5}<a<-5529<a<5

若关于 xxx 的一元二次方程 ax2−2x+1=0(a>0)ax^2-2x+1=0(a>0)ax22x+1=0(a>0) 有实根,且一根在区间 (1,3)(1,3)(1,3) 内,另一根小于 111,则实数 aaa 的取值范围为________________.
分析:数形结合后可得 f(1)<0,f(3)>0f(1)<0,f(3)>0f(1)<0,f(3)>0,即可代入原函数求出 aaa 的取值范围。

  • f(1)<0→a−1<0→a<1f(1)<0\to a-1<0\to a<1f(1)<0a1<0a<1
  • f(3)>0→9a−5>0→a>59f(3)>0\to 9a-5>0\to a>\cfrac{5}{9}f(3)>09a5>0a>95

∴59<a<1\therefore\cfrac{5}{9}<a<195<a<1

若关于 xxx 的一元二次方程 x2+(m−5)x+m−2=0x^2+(m-5)x+m-2=0x2+(m5)x+m2=0 有实根,且两根都小于 −2-22,则实数 mmm 的取值范围为________________.
分析:数形结合后可得 f(−2)>0,f(-2)>0,f(2)>0,<−2,Δ≥0<-2,\Delta\ge0<2,Δ0,即可代入原函数求出 mmm 的取值范围。

  • f(−2)>0→4−2(m−5)+m−2=12−m>0→m<12f(-2)>0\to4-2(m-5)+m-2=12-m>0\to m<12f(2)>042(m5)+m2=12m>0m<12
  • <−2→−m−52<−2→m>9<-2\to-\cfrac{m-5}{2}<-2\to m>9<22m5<2m>9
  • Δ≥0→(m−5)2−4(m−2)=m2−14m+33≥0→m≤3\Delta\ge0\to(m-5)^2-4(m-2)=m^2-14m+33\ge0\to m\le3Δ0(m5)24(m2)=m214m+330m3m≥11m\ge11m11

∴11≤m<12\therefore11\le m<1211m<12

若关于 xxx 的一元二次方程 4x2−2mx+n=04x^2-2mx+n=04x22mx+n=0 有实根,且两根都在区间 (0,1)(0,1)(0,1) 内,已知 m,nm,nm,n 均为正整数,则 m2+n=m^2+n=m2+n= ________________.
分析:数形结合后可得 f(0)>0,f(1)>0,0<f(0)>0,f(1)>0,0<f(0)>0,f(1)>0,0<<1,Δ≥0<1,\Delta\ge0<1,Δ0,代入原函数可求出 m,nm,nm,n 的取值范围,最后分类讨论即可求出答案。

  • f(0)>0→n>0f(0)>0\to n>0f(0)>0n>0 无用
  • f(1)>0→4−2m+n>0→4+n>2mf(1)>0\to4-2m+n>0\to4+n>2mf(1)>042m+n>04+n>2m
  • 0<0<0<<1→0<2m8<1→0<m<4<1\to0<\cfrac{2m}{8}<1\to0<m<4<10<82m<10<m<4
  • Δ≥0→4m2−16n≥0→m2≥4n\Delta\ge0\to4m^2-16n\ge0\to m^2\ge4nΔ04m216n0m24n

分类讨论:

mmm111222333
nnn×\times×111×\times×

m2+n=5m^2+n=5m2+n=5.

若关于 xxx 的一元二次方程 mx2−(2m+1)x+5m+1=0mx^2-(2m + 1)x + 5m + 1 = 0mx2(2m+1)x+5m+1=0 有实根,且在区间 [32,5][\cfrac{3}{2},5][23,5] 内恰有一根,求实数 mmm 的取值范围。
分析:因为不知道 mmm 的正负,所以二次函数的开口朝向就不知道了,所以考虑分类讨论。

  1. f(32)>0f(\cfrac{3}{2})>0f(23)>0f(5)<0f(5)<0f(5)<0
  • 94−(3m+32)+5m+1>0\cfrac{9}{4}-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1>049(3m+23)+5m+1>0
  • 25m−(10m+5)+5m+1<025m-(10m+5)+5m+1<025m(10m+5)+5m+1<0
    ∴m>217\therefore m>\cfrac{2}{17}m>172m<15m<\cfrac{1}{5}m<51
  1. f(32)<0f(\cfrac{3}{2})<0f(23)<0f(5)>0f(5)>0f(5)>0
  • 94m−(3m+32)+5m+1<0\cfrac{9}{4}m-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1<049m(3m+23)+5m+1<0
  • 25m−(10m+5)+5m+1>025m-(10m+5)+5m+1>025m(10m+5)+5m+1>0
    ∴m<217\therefore m<\cfrac{2}{17}m<172 m>15m>\cfrac{1}{5}m>51(舍)
  1. f(32)=0f(\cfrac{3}{2})=0f(23)=0
  • 94m−(3m+32)+5m+1=0\cfrac{9}{4}m-(3m+\cfrac{3}{2})+5m+1=049m(3m+23)+5m+1=0
    ∴m=217\therefore m=\cfrac{2}{17}m=172
  1. f(5)=0f(5)=0f(5)=0
  • 25m−(10m+5)+5m+1=025m-(10m+5)+5m+1=025m(10m+5)+5m+1=0
    ∴m−15\therefore m-\cfrac{1}{5}m51
    ∴15x2−75x+2=0\therefore\cfrac{1}{5}x^2-\cfrac{7}{5}x+2=051x257x+2=0
    ∴(x−2)(x−5)=0\therefore(x-2)(x-5)=0(x2)(x5)=0
    ∴x=2\therefore x=2x=2555(舍)

综上,217≤x<15\cfrac{2}{17}\le x<\cfrac{1}{5}172x<51

已知关于 xxx 的方程 4x2−4x+m=04x^2 - 4x + m = 04x24x+m=0 在区间 [−1,1][-1,1][1,1] 内至少有一根,求 mmm 的取值范围。
分析:分类讨论即可。

  1. 两根在 [−1,1][-1,1][1,1]
  • f(−1)≥0→m≥−8f(-1)\ge0\to m\ge-8f(1)0m8
  • f(1)≥0→m≥0f(1)\ge0\to m\ge0f(1)0m0
  • −1≤-1\le1≤1→\le1\to1 无用
  • Δ≥0→m≤1\Delta\ge0\to m\le1Δ0m1
    ∴0≤m≤1\therefore0\le m\le10m1
  1. 一根在 (−1,1)(-1,1)(1,1)
    f(−1)<0,f(1)>0f(-1)<0,f(1)>0f(1)<0,f(1)>0f(−1)>0,f(1)<0f(-1)>0,f(1)<0f(1)>0,f(1)<0
    m<−8,m>0m<-8,m>0m<8,m>0(舍)m>−8,m<0m>-8,m<0m>8,m<0
    ∴−8<m<0\therefore-8<m<08<m<0
  2. f(−1)=0f(-1)=0f(1)=0
    m=-8
  3. f(1)=0f(1)=0f(1)=0
    m=0

综上,−8≤m≤1-8\le m\le18m1

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