B3883 [信息与未来 2015] 求回文数 数位dp题解

1前言

作者认为本题是新手联系数位dp的好题
建议先阅读作者主页前一篇关于数位dp的题解

2问题

具体如下图

数据范围这么大！
甚至需要高精度来存储
这个数据范围就是一眼数位dp了，别的算法必定超时

3数位dp-part1-预处理

很容易发现，对于所有$k$位数，回文数的数量是固定的
易得一位数和两位数的回文数的数量都是$9$(不含0)
考虑$k$位回文数，其实是$(k+1)/2$位的数进行对称操作
($k$为奇数时对称轴为$(k+1)/2$位的数，否则为$k/2$和$k/2+1$位字符的中间)
最外面不能是$0$，那么方案数显然为$9\times 10^{(k-1)/2}$
那么设$k$位数的回文数数量为$f_k$
设所有不大于$k$位，即$1--10^k-1$区间内的回文数总数为$su{m}_k$
设$e_k=10^k$，这个数位dp几乎都要用，不要忘了
即得状态转移方程
$f_i=9\times e_{(k-1)/2}$
s u m i = s u m i − 1 + f i sum_{i} = sum_{i-1}+f_{i} sum