期望的运用

期望，简单来说就是做一个事情可能得到结果的平均值。

在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行 $5$ 局，赢家可以获得 $100$ 法郎的奖励。当比赛进行到第 $4$ 局的时候，甲胜了 $2$ 局，乙胜了 $1$ 局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这 $100$ 法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。

因为甲输掉后两局的可能性只有 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为 $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，甲有 $75\%$ 的期望获得 $100$ 法郎；而乙期望赢得 $100$ 法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为 $\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，即乙有 $25\%$ 的期望获得 $100$ 法郎奖金。

可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为 $75\%$ 和 $25\%$，因此甲应分得奖金的 $100\times 75\%=75$ 法郎，乙应分得奖金的的 $100\times 25\%=25$ 法郎。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

例子：
某城市有 $100000$ 个家庭，没有孩子的家庭有 $4000$ 个，有一个孩子的家庭有 $90000$ 个，有两个孩子的家庭有 $6000$ 个，有3个孩子的家庭有 $3000$ 个，则每个家庭期望有多少个孩子？

则此城市中任一个家庭中孩子的数目是一个随机变量，记为 $X$。它可取值 $0,1,2,3$。

其中，$X$ 取 $0$ 的概率为 $0.04$，取 $1$ 的概率为 $0.9$，取 $2$ 的概率为 $0.02$，取 $3$ 的概率为 $0.02$。

设它的数学期望值为 $E(X)$，则 $E(X)=0\times 0.01+1\times 0.9+2\times 0.02+3\times 0.02=1$. 所以每个家庭期望有 $1$ 个孩子。

现在，我们来把这种期望计算方法运用在编程题中。

[ABC350E] Toward 0

给定整数 $n$ 。可以执行以下两种操作。

1. 消耗 $x$ 日元将 $n$ 变为 $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor$ 。
2. 消耗 $y$ 日元，在整数区间 $[1,6]$ 内等概率选取一个整数 $b$ ，将 $n$ 变为 $\lfloor \frac{n}{b}\rfloor$ 。

求在最优策略下将 $n$ 变为 $0$ 需要消耗的最少的日元。

同样的，可以通过 dfs 求期望需要的日元。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a,x,y;
map <int,double> dp;
double dfs(int u)
{
	if (!u) return 0;
	if (dp[u]) return dp[u];
	double f = x + dfs(u/a);
	double g = 6*y;
	for (int i = 2;i <= 6;i++) g += dfs(u/i);
	g /= 5.0;
	return dp[u] = min(f,g);
}
signed main()
{
	cin >> n >> a >> x >> y;
	printf("%.8lf",dfs(n));
	return 0;
}