欧几里得算法（gcd）

原创

已于 2022-04-28 16:14:47 修改 · 7.7k 阅读

19 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#数据结构 #c++

于 2021-08-10 08:09:35 首次发布

欧几里得算法

欧几里得算法也称为辗转相除法,用于计算两个数的最大公因数，一般用gcd(a,b)来表示a和b的最大公因数。

欧几里得算法基于下面的这个定理

设a、b均为正整数，则gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

证明：设a=k*b+r,k和r分别是a除以b得到的商和余数
则有a-r=k*b成立
设d是a和b的公约数
那么由a=k*b+r，得d也是r的一个因数
因此d是b和r的公因数
因此d既是a和b的公因数，也是b和a%b的公因数
那么，最大公因数也相等
即gcd=(a,b)=gcd(b,a%b)
证毕。

递归式：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

代码实现

int gcd(int a,int b){
   
   
	if(b==0)
		return

最低0.47元/天解锁文章

200万优质内容无限畅学

确定要放弃本次机会？

福利倒计时

: :

立减 ¥

普通VIP年卡可用

立即使用

Alice-柯

关注关注

11
点赞
踩
19

收藏

觉得还不错? 一键收藏
4
评论
分享

复制链接

分享到 QQ

分享到新浪微博

扫一扫
举报

举报

欧几里得算法

Stardust_AK的博客

08-03

598

欧几里得算法，模运算，费马小定理，乘法逆元，不定方程，模线性方程

51Nod-1011 最大公约数GCD【欧几里得算法】

海岛Blog

05-30

1384

1011 最大公约数GCD 基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题输入2个正整数A，B，求A与B的最大公约数。 Input 2个数A,B，中间用空格隔开。(1 Output 输出A与B的最大公约数。 Input示例 30 105 Output示例 15 问题链接：1011 最大公约数GCD

4 条评论您还未登录，请先登录后发表或查看评论

辗转相除法(欧几里得算法)深度解析

热门推荐

wangtao的博客

03-19

4万+

摘自百度百科描述: 辗转相除法，又名欧几里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。 a=q*b+r; 都为整数 ...

C语言扩展欧几里得算法代码

09-05

扩展欧几里得算法，也称为扩展gcd（Greatest Common Divisor）算法，是一种用于求解最大公约数以及其线性组合的算法。在数学中，对于任意两个正整数m和n，存在唯一的一对整数a和b，使得a * m + b * n = gcd(m, n)。...

递归-欧几里得算法

weisili2000_2000的博客

01-30

2493

注：本文核心部分全部转自leader_one的文章，这里表示十分感谢，这里主要记录学习过程供以后复习！ leader_one：https://blog.youkuaiyun.com/leader_one/article/details/75222771 算法描述：欧几里德算法（Euclidean Algorithm）又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数，gcd(a,b )表示a和b的最大...

算法笔记01｜欧几里得GCD算法（附C++代码）

playcold233的博客

11-01

4182

目录前言一、欧几里得GCD定理二、欧几里得GCD算法1. 算法思想2. 算法伪代码3. 算法复杂度4. 算法代码（c++）三、写在后面前言最大公约数（GCD，Greatest Common Divisor）问题，即求两个或多个整数共有约数中最大的一个。求取两个数GCD的直观方法——整数的因子分解法　　即将每个整数分解为素因子的积，找出公共的素因子，他们的积即是GCD。　　例如：210=2x3x5x7; 252=2x2x3x3x7; 公共素因子为2x3x7=42，所以210和252

扩展欧几里得

01-21

410

转自：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html 欧几里德算法欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则...

欧几里德算法GCD

Soul Singer的博客

08-04

947

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)证明：a可以表示成a = kb + r（余数），则r = a mod b假设d是a,b的一个公约数，则有d|a（d能整除a）, d|b（d能整除b），而r = a - kb（假设a = md，b = nd，所以r = a - kb = （m-nk）d），

欧几里德算法计算GCD

jmhIcoding

07-12

1348

引言：在数论方面，有很多地方需要计算最大公约数（Greatest Common Dividor)，GCD的计算法主要直接分解因式后提取最大公因式的因式分解法，还有普通使用的欧几里德算法。预备知识：整数除法：中学阶段，我们知道对于两个整数a,b，如果a=b*q+r,其中q,r是整数，并且的0<=r<q, 那么q又叫做商(q>=1)，r叫做余数。如果r=0,我们称a能被b整除，

gcd 算法

EmptyColor

07-21

570

基础 [cpp] view plain copy int gcd(int a,int b) { int r; while(b>0) { r=a%b; a=b; b=r; } return a;

欧几里得gcd/extend_gcd

少说，多做。

08-14

2801

正式叙述前还写了一点自己的小感受。问题：求两个正整数a，b的最大公约数。大神看来是很简单的问题，但是对于去年夏天刚学python的我来说，这是个很难的问题，还记得当时一晚上睡不着都在想怎么快一点的求出最大公约数，后来猜测最小公倍数的求法，还有最后想出来的欣喜若狂，我现在还记忆犹新。还记得看过一个小梗：一个农民种着种着地，一排一排的种，突然陷入深思，沉思良久，回去算了很久以后，借了...

不同的GCD算法

qq973177663的专栏

10-08

944

gcd递归定理是指gcd(a,b)=gcd(b,a%b),其中%表示取余数。证明如下：我们只需证明gcd(a,b)和gcd(b,a%b)可以互相整除即可。对于gcd(a,b)，它是a和b的线性组合中的最小正元素，gcd(b,a%b) 是b与a%b的一个线性组合，而a%b是a与b的一个线性组合，因而gcd(b,a%b)是一个a与b的线性组合，因为a,b都能被gcd(a,b)整

方法1：欧几里得算法gcd(m,n)2．用“相减数”算法实现求两个非负整数的最大公约数。3．用“相除数”算法实现求两个非负整数的最大公约数。1.三种算法的思想是什么？时间复杂度分别是什么？ 2. 三种算法优缺点是什么？适用什么情况？ 3.如果题目换成“求两个非负整数的最小公倍数”，如何设计算法实现？

03-28

<think>嗯，用户想了解最大公约数的不同算法，包括欧几里得算法、相减法和相除法，以及它们的原理、时间复杂度、优缺点和适用场景。还有如何通过这些算法扩展来解决最小公倍数的问题。首先，我需要确认这几个算法是否指的是不同的方法，或者是否存在重复的别名。比如，辗转相除法其实就是欧几里得算法，而相减法可能指的是更相减损术，也就是更相减损法。用户提到的相除法可能是指普通的除法方法，但通常来说，相除法和辗转相除法可能指的是同一个算法，这里可能需要澄清。不过根据用户提供的引用，更相减损法不涉及除法，所以可能用户将相减法与相除法分开讨论。接下来需要整理每个算法的原理。欧几里得算法（辗转相除法）的基本思想是用较大数除以较小数，然后用余数替换较大数，重复直到余数为零。时间复杂度方面，欧几里得算法通常被认为是O(log min(a,b))，因为每次步骤中数值都会减少。而更相减损术（相减法）则是通过不断相减两个数，直到相等，时间复杂度较高，尤其是在两数相差大时，比如O(n)的情况，但避免了除法运算，可能在硬件不支持除法时有用。至于Stein算法，结合了更相减损和移位操作，适合处理大整数，时间复杂度也是O(log n)，但通过位运算优化。关于优缺点，欧几里得算法效率高，但涉及取模运算；更相减损术避免了除法但效率低；Stein算法适合大数且用位运算，但实现复杂。适用场景的话，欧几里得适合一般情况，更相减损适合没有除法指令的环境，Stein适合大数或二进制系统。最小公倍数的计算通常可以通过最大公约数来得到，即lcm(a,b) = |a*b| / gcd(a,b)。所以无论用哪种方法求gcd，都可以扩展来计算lcm。需要注意的是，当数值较大时，先除后乘可能避免溢出问题。用户提供的引用中提到更相减损法的时间复杂度较高，尤其是在大数减小数的情况下，而Stein算法结合了除2和更相减损，这可能减少计算步骤。因此，在解释时需要将这些引用内容整合进去，正确标注引用来源。现在需要确保回答结构清晰，分点说明每个算法的原理、时间复杂度、优缺点和适用场景，然后讨论最小公倍数的求解方法。可能还需要比较三种算法的异同，以及在不同场景下的选择建议。同时，生成的相关问题需要与主题紧密相关，帮助用户深入理解。</think>### 最大公约数算法比较与最小公倍数求解 #### 一、算法原理与思想 1. **欧几里得算法（辗转相除法）** - **原理**: 基于定理$gcd(a,b) = gcd(b, a \bmod b)$，递归或迭代地将问题转化为更小的数值对，直到余数为0。例如，求$gcd(48,18)$的步骤为：$48 \bmod 18 = 12$ → $18 \bmod 12 = 6$ → $12 \bmod 6 = 0$，结果为6[^1]。 - **核心操作**: 取模运算（除法）。 2. **更相减损术（相减法）** - **原理**: 通过反复用较大数减去较小数，直到两数相等。例如，$gcd(48,18)$的步骤为：$48-18=30$ → $30-18=12$ → $18-12=6$ → $12-6=6$，结果为6[^2]。 - **核心操作**: 减法运算。 3. **Stein算法（二进制算法）** - **原理**: 结合更相减损术和移位运算。规则包括： - 若两数均为偶数，同时除以2； - 若一奇一偶，偶数除以2； - 若均为奇数，使用更相减损术[^3]。 #### 二、时间复杂度对比 | 算法 | 时间复杂度 | 关键操作 | |--------------|------------------------------|------------------| | 欧几里得算法 | $O(\log \min(a,b))$ | 取模运算 | | 更相减损术 | $O(\max(a,b))$（最坏情况） | 减法运算 | | Stein算法 | $O(\log \max(a,b))$ | 移位、减法 | #### 三、优缺点与适用场景 1. **欧几里得算法** - **优点**: 效率高，适合数值差距大的情况。 - **缺点**: 依赖取模运算，硬件不支持除法时效率下降。 - **场景**: 通用场景，尤其是数值较大的情况。 2. **更相减损术** - **优点**: 无需除法，适合无除法指令的环境。 - **缺点**: 数值差异大时效率极低（如$gcd(100000,1)$需要99999次减法）。 - **场景**: 嵌入式系统或硬件限制场景。 3. **Stein算法** - **优点**: 通过移位优化减法次数，适合二进制表示的大整数。 - **缺点**: 实现逻辑较复杂。 - **场景**: 大数计算或二进制处理器环境。 #### 四、最小公倍数（LCM）的求解 - **核心公式**: $$lcm(a,b) = \frac{|a \times b|}{gcd(a,b)}$$ 例如，求$lcm(12,18)$时，先计算$gcd(12,18)=6$，则$lcm= (12 \times 18)/6=36$。 - **优化**: 为避免乘法溢出，可先计算$|a|/gcd(a,b)$再乘以$|b|$。 #### 五、算法选择建议 1. 优先选择**欧几里得算法**，因其综合效率最优。 2. 硬件不支持除法时使用**更相减损术**。 3. 处理极大整数或二进制场景时选择**Stein算法**。 ```python # 欧几里得算法实现 def gcd_euclidean(a, b): while b != 0: a, b = b, a % b return a # 最小公倍数扩展 def lcm(a, b): return abs(a * b) // gcd_euclidean(a, b) ```