莫队算法

普通莫队

按照左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字排序。然后按照暴力做即可。

设$B$表示块的大小，$n$表示序列长度，$m$表示询问数，时间复杂度分析：

1. 左端点$l$移动次数最多是 询问数 * 块大小：$O(mB)$
2. 右端点$r$移动次数最多是 块个数 * 总长 $O(\frac{n^2}{B})$

于是这个的时间复杂度为$O(mB+\frac{n^2}{B})$.

根据基本不等式可得这个对勾函数当$B=\frac{n}{\sqrt{m}}$时时间复杂度最小，为$O(n\sqrt{m})$，总时间复杂加上排序就是$O(n\sqrt{m}+mlogm)$。

应用

百度即可。

带修莫队

经典例题：https://jzoj.net/senior/#main/show/4594

核心思想是把版本嵌套在普通莫队上，每次要注意版本对区间的影响。

即先更新当前版本对当前区间的影响，如果版本往前，那么查看是否会对当前区间有影响，有影响则更新，版本往后同理。

最后再跟普通莫队一样，在当前版本上进行左右断点的移动。

排序的方式是：以$n^{\frac{2}{3}}$为一块，一共将序列分为$n^{\frac{1}{3}}$块。排序第一关键字是左端点所在块编号，第二关键字是右端点所在块编号，第三关键字是对应版本。

模板类似：

for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        while (K < q[i].k) Change(++ K);
        while (K > q[i].k) Change(K --);
        while (R < q[i].r) Add(++ R);
        while (L > q[i].l) Add(-- L);
        while (R > q[i].r) Del(R --);
        while (L < q[i].l) Del(L ++);
        res[q[i].pos] = ans;
}

时间复杂度分析（与上面相同$B$表示块大小，且假设$n,m$同阶）：

1. 版本移动：最多有${(\frac{n}{B})}^2$个$r$块，对于每个$r$块 版本最多移动$n$次，所以复杂度是$O(n^3/B^2)$.
2. 右端点$r$移动：由于移动递增，所以$r$块相同时，最多移动$B$次，时间复杂度是$O(mB)$，$r$块不同时，由于只有$n/B$个$l$块，所以最多移动$\frac{n^2}{B}$次，总的复杂度是$O(mB+\frac{n^2}{B})$.
3. 左端点$l$移动：每次最多移动$B$个，时间复杂度是$O(mB)$

当$n,m$同阶时复杂度为$O(nB+\frac{n^2}{B}+\frac{n^3}{B^2})$，设$B=n^x|(0<x<1)$，那么复杂度可以写成$n^{\max (x+1,2-x,3-2x)}$，易知$x=\frac{2}{3}$时时间复杂度最小，为$O(n^{\frac{5}{3}})$.

树上不带修莫队

一般解决树上路径问题。

这个有一种很好的解决办法，即利用括号序。

对于一段路径$x,y$，如果其$lca$不是它们中一点，则可以把路径对应到原序列上

序列中$x$右括号位置到$y$左括号位置中出现一次的点，再加上$x$和$y$的$lca$

否则假设$y$是$lca$，那么可以对应到原序列上

序列中$y$左括号位置到$x$左括号位置中出现一次的点

这样就转化为普通莫队了。

树上带修莫队

根据前两个知识即可。

例题：BZOJ3052: [wc2013]糖果公园