分治算法(算法详解+模板+例题)

1.定义

分治算法（Divide and Conquer Algorithm）是一种通过将复杂问题分解为多个较小的子问题来解决的方法。这些子问题的形式与原问题相同或相似，且彼此独立。通过递归地解决这些子问题，并将它们的解合并起来，最终得到原问题的解。这种方法在排序（如快速排序、归并排序）、查找（如二分查找）和数学计算（如大整数乘法）等领域有广泛的应用。

2.基本思路

1.分解：

• 目标：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立的子问题。
• 方法：
  • 确定分解的标准或条件。
  • 根据标准或条件将原问题划分为多个子问题。
  • 每个子问题的形式与原问题相同或相似。

2.解决：

• 目标：递归地求解这些子问题。
• 方法：
  • 如果子问题的规模足够小，可以直接求解，不再继续分解。
  • 否则，继续递归地应用分治算法，将子问题进一步分解，直到达到可以直接求解的规模。

3.合并：

• 目标：将子问题的解合并起来，形成原问题的解。
• 方法：
  • 设计合适的合并策略，将子问题的解组合成原问题的解。
  • 合并过程中可能涉及一些额外的计算或操作。

 3.操作步骤

1. 分解

目标：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立的子问题。

操作步骤：1.确定分解标准：根据问题的特点，选择合适的分解标准或条件。

2.划分子问题：按照分解标准将原问题划分为多个子问题。

3.确保子问题形式相同：确保每个子问题的形式与原问题相同或相似。

2. 解决

目标：递归地求解这些子问题。

操作步骤：1.检查子问题规模：判断子问题的规模是否足够小，可以直接求解。

2.直接求解小规模问题：如果子问题的规模足够小，直接求解，不再继续分解。

3.递归求解大规模问题：如果子问题的规模仍然较大，继续递归地应用分治算法，将子问题进一步分解，直到达到可以直接求解的规模。

3. 合并

目标：将子问题的解合并起来，形成原问题的解。

操作步骤：1.设计合并策略：根据问题的特点，设计合适的合并策略。

2.执行合并操作：将子问题的解组合成原问题的解。

3.处理合并过程中的额外计算：合并过程中可能涉及一些额外的计算或操作，确保这些操作正确无误。

4.代码模板

1.通用分治算法模板（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 基本情况：如果问题规模足够小，直接求解
bool is(const vector<int>& p) {
    // 根据问题的具体情况判断
    return p.size() <= 1;
}
// 直接求解基本情况
vector<int> solve(const vector<int>& p) {
    // 根据问题的具体情况求解
    return p;
}
// 分解问题
vector<vector<int>> di(const vector<int>& p) {
    // 根据问题的具体情况分解
    int n = p.size(),mid = n / 2;
    vector<int> left(p.begin(), p.begin() + mid);
    vector<int> right(p.begin() + mid, p.end());
    return {left, right};
}
// 合并子问题的解
vector<int> com(const vector<vector<int>>& s) {
    // 根据问题的具体情况合并
    vector<int> r;
    for (const auto& sub : s) {
        r.insert(r.end(), s.begin(), s.end());
    }
    return r;
}
// 分治算法主函数
vector<int> d(const vector<int>& p) {
    if (is(p))
        return solve(p);
    vector<vector<int>> su = di(p);
    vector<vector<int>> s;
    for (const auto& subproblem : subproblems) {
        su.push_back(di(s));
    }

    return com(s);
}

2.快速排序的具体实现（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
// 分区操作
int pa(vector<int>& arr, int low, int high) {
    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;
    for (int j = low; j < high; j++)
        if (arr[j] < pivot) {
            i++;
            swap(arr[i], arr[j]);
        }
    swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}
// 快速排序主函数
void qu(vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = pa(arr, low, high);
        qu(arr, low, pi - 1);  // 递归排序左半部分
        qu(arr, pi + 1, high); // 递归排序右半部分
    }
}
int main() {
    vector<int> arr = {10, 7, 8, 9, 1, 5};
    int n = arr.size();
    qu(arr, 0, n - 1);
    cout << "Sorted array: ";
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << arr[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}

5.经典例题

1. [NOIP1998 普及组] 幂次方

题目描述

任何一个正整数都可以用 2 的幂次方表示。例如 137=2^7+2^3+2^0 。同时约定次方用括号来表示，即 a^b 可表示为 a(b)。由此可知，137 可表示为 2(7)+2(3)+2(0)

进一步：7= 2^2+2+2^0  ( 2^1 用 2 表示)，并且 3=2+2^0。所以最后 137 可表示为 2(2(2)+2+2(0))+2(2+2(0))+2(0)。又如 1315=2^10 +2^8 +2^5 +2+1

所以 1315 最后可表示为 2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)。

输入格式

一行一个正整数 n。

输出格式

符合约定的 n 的 0, 2 表示（在表示中不能有空格）。

样例 #1

样例输入 #1
1315

样例输出 #1
2(2(2+2(0))+2)+2(2(2+2(0)))+2(2(2)+2(0))+2+2(0)

提示

【数据范围】对于 100% 的数据，1 < n < 2 *10^4。

NOIP1998 普及组 第三题

参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;

// 定义全局变量 n
int n;

// 计算 m 的二进制表示中最高位 1 的位置（即 log2(m)）
int log(int m) {
    int cnt = 0;
    // 不断右移 m，直到 m 变为 1
    while (m != 1) {
        m >>= 1; // 右移一位
        cnt++;   // 计数器加一
    }
    return cnt; // 返回计数器的值
}

// 递归解决将 n 表示为 2 的幂次和的形式
void solve(int n) {
    if (n == 0) {
        cout << "0"; // 如果 n 为 0，直接输出 0
    } else if (n == 2) {
        cout << "2"; // 如果 n 为 2，直接输出 2
    } else if (n == 3) {
        cout << "2+2(0)"; // 如果 n 为 3，输出 2+2(0)
    } else {
        int l = log(n); // 计算 n 的最高位 1 的位置
        cout << "2("; // 输出 2(
        solve(l); // 递归处理 l
        cout << ")"; // 输出 )
        n -= (1 << l); // 减去 2^l
        if (n) {
            cout << "+"; // 如果 n 还有剩余，输出 +
            solve(n); // 递归处理剩余的 n
        }
    }
    return;
}

int main() {
    cin >> n; // 读取输入的 n
    solve(n); // 调用 solve 函数处理 n
    return 0;
}

2. [NOIP2001 提高组] 一元三次方程求解

题目描述

有形如：a x^3 + b x^2 + c x + d = 0  这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数（a,b,c,d 均为实数），并约定该方程存在三个不同实根（根的范围在 -100 至 100 之间），且根与根之差的绝对值 >1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后 2 位。

提示：记方程 f(x) = 0，若存在 2 个数 x1 和 x2，且 x1<x2，f(x1)  f(x2) < 0，则在 (x1, x2） 之间一定有一个根。

输入格式

一行，4 个实数 a, b, c, d。

输出格式

一行，3 个实根，从小到大输出，并精确到小数点后 2 位。

样例 #1

样例输入 #1
1 -5 -4 20

样例输出 #1
-2.00 2.00 5.00

提示

【题目来源】NOIP 2001 提高组第一题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 定义全局变量 a, b, c, d
double a, b, c, d;

int main() {
    // 从标准输入读取四个双精度浮点数 a, b, c, d
    cin >> a >> b >> c >> d;

    // 使用 for 循环在区间 [-100, 100] 内以 0.001 的步长遍历所有可能的 i 值
    for (double i = -100; i <= 100; i += 0.001) {
        // 计算多项式 f(i) = a*i^3 + b*i^2 + c*i + d 的值
        double value = i * i * i * a + i * i * b + i * c + d;

        // 判断 f(i) 是否接近于 0（误差小于 0.0001）
        if (fabs(value) < 0.0001) {
            // 如果 f(i) 接近于 0，输出当前的 i 值
            cout << i << endl;
        }
    }

    return 0;
}

3.最大子段和

题目描述

给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 n。

第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1
7
2 -4 3 -1 2 -4 3

样例输出 #1
4

提示

样例 1 解释

选取 [3, 5] 子段 {3, -1, 2}，其和为 4。

数据规模与约定

- 对于 40% 的数据，保证 n <= 2 *10^3。
- 对于 100% 的数据，保证 1 <= n <= 2 *10^5，-10^4 <= ai<=10^4。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 定义两个数组 a 和 s，用于存储输入数据和前缀和
long long a[200005], s[200005];

int main() {
    // 读取输入的整数 n，表示数组的长度
    long long n;
    cin >> n;

    // 初始化最大子数组和为一个很小的负数
    long long sum = -1000000;

    // 读取数组 a 的元素
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    // 计算前缀和数组 s，并更新最大子数组和
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 计算当前前缀和 s[i]
        s[i] = s[i - 1] + a[i];

        // 如果当前元素 a[i] 大于当前前缀和 s[i]，则更新 s[i] 为 a[i]
        if (a[i] > s[i]) {
            s[i] = a[i];
        }

        // 更新最大子数组和 sum
        if (sum < s[i]) {
            sum = s[i];
        }
    }

    // 输出最大子数组和
    cout << sum;

    return 0;
}