FFT (Fast Fourier Transform) 与 DFT (Discrete Fourier Transform)

   FFT 是一种如雷贯耳的快速算法，应用范围及其广泛，就不多说了。不过 DFT 很多人并不是很清楚，只知道 DFT 比 FFT 效率低，速度慢。实际上，在很多应用场合下，DFT 反而会比 FFT 效率高很多。

    首先，回顾一下复数的特性：

         V = R + jI = M*(R/M + j I/M) = M*(cos(A) + j sin(A)) = M*exp(j A)                       (1)

         wher R is the real and I is the image, M = sqrt(R*R + I*I) and A=arctan2(R, I) is the angle.

 

DFT/FFT 首要的任务是确定系统的基频（ Fundamental Frequency), 这样就能确定系统一个周期的采样点数。基频在同一个系统中可根据需要而采用不同的值。现在假设系统的采样时间为 Ts,   周期采样点数  N  ( 对于 FFT,  一般要求 N = 2*M = 2^L, DFT 则无此要求）， 则第 H  次谐波的  DFT 的计算公式可以从基本的 Fourier 积分公式中得出：

        V(k) = sum (x(k - n) * exp( j 2* n *PI *  H /N) *2/N)                                            (2)

 

这里，  n = 0 to N-1, sum  是