viterbi算法

所谓的马尔科夫过程，就是该过程的当前状态仅由前一时刻的状态确定。用概率表达即为：。

隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model，HMM）是统计模型，它用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。

在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中,状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

例如下面的例子：

图中是状态转移概率；

每个状态下都以一定概率产生一些输出（R、B、Y），如：

在每个状态下，都产生一个输出，比如：

其中只有输出序列（R、B、Y）是可以观察到的，而且它们与状态序列没有明显的对应关系。

Viterbi算法可以通过观察到的输出序列，对状态序列做出最佳估计。

 

定义HMM模型为：

矩阵 ，其中N是状态数，M是观察值的数量。则是状态转移概率；是状态j下产生输出k的概率；是初始状态i的概率。

接下来就存在几个问题：

1. 在给定观察序列和模型的情况下，计算观察序列的概率？应用的场合包括：比如已知一观察序列和两个模型，确定该观察是由哪一个模型产生。
2. 在给定观察序列和模型的情况下，如何估计产生次观察序列的状态序列？应用场合包括信道译码等等。
3. 如何调整模型参数，以最大化？

由于马尔科夫过程当前时刻的状态仅由前一时刻的状态确定，（其中I和Q表示状态，下面的O表示输出、观察）因此有：

因此某一状态序列的产生概率为：

以格形图表示：

如果并不知道状态，而只知道观察值：

由于有：，

其中

。即在此状态序列下，同时也获得该观察序列的概率。

状态与输出的概率关系如下，与前面是一样的：

显然，同样的观察值可能对应着许多状态序列。理论上，最多会有N^T个序列。当然在上面的例子中，由于有一些状态序列发生的概率为0.对于上面的例子，实际可能的序列数为30.可用下图表示：

这时，我们可以求出能够产生该输出的序列的，则可以选择概率最大的那个作为状态序列的估计。

 

1. 对前述3个问题中问题1（在某特定的确定模型下求产生此观察序列的概率）的求解：

（前后向算法（Forward-Backward Algorithm），寻求）

定义前向变量。这是我们观察到在t时刻到达状态 时的部分观察序列的概率。该前向变量可以通过迭代计算得到：

1. 初始态。即各初始状态i下产生输出的概率；
2. 随后的各时刻t，有 ，即在t+1时刻到达状态j时的前向变量，是t时刻各状态对应的前向变量乘以各状态i到j状态的转移概率，然后累加求和，再乘以状态到对应输出的条件概率。以图示表示：

由此迭代直至T时刻。

该迭代计算过程也可以通过的矩阵运算得到。

 

1. 对前述3个问题中问题2（已知观察序列，求状态序列）的求解：

（Viterbi算法，寻找最大化的状态序列，这也等效于最大化）。这用格形图（trellis）最好说明。在格形图的每一个时间步（列），Viterbi算法只保留N歌可能的状态序列，这N个序列结束在N个状态。如果不止一个序列结束在同样的状态，有着最大概率的序列就产生了。

Viterbi算法的步骤为：

1. 初始（t=0）

，对应各状态产生输出的概率；

1. 接下来的各时间步上，

是在t时刻到达状态j时产生对应输出序列的概率，也是前面的前向变量；

1. 结束：

状态序列回溯：