算法分析与设计——任意两点间最短路Floyd算法

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一、问题

• 用Floyd算法求解下图各个顶点的最短距离，给出距离矩阵（顶点之间的最短距离矩阵）
  

二、解析

要求得任意两点之间的最短路，可以采用松弛操作，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛，即访问从i到j的所有可能路径，把i到经过若干个编号不超过k的点再到j的多种路径做对比，更短的路径保留。

这本质上是一种动态规划，把从i到j的最短路问题分成：i经过编号不超过k-1的节点到j，以及i先到k再到j，两个子问题。这样k不断加大，就可以不断的通过子问题找到经过更多点问题的答案。

若D[k, i, j] 表示i点经过若干个编号不超过k的节点而到达j时的最短距离，则状态转移方程可以写为：D[k, i, j] = min( D[k-1, i, j] , D[k-1, i, k] + D[k-1,k,j] )

而k是阶段, 讨论i，j间最短距离时必须要先确定最多可以经过多少个点（即k），所以要放在外层，外层循环到k时，内层有状态转移：D[i, j] = min( D[i, j] , D[i, k] + D[k,j] )

三、设计

由于k确定了之后，内部状态转移明确，所以k这一维的状态转移可以省略；

可以初始化让D[0, i, j]=A[i, j]，即i到j之间不经过点时的最短距离就是i直接到j

然后就是k确定，遍历所有的i和j，把状态记录到d[k, i, j]。

四、分析

由于是k一层经过不超过n个点节点的外层循环，加上i到j的排列情况两层循环，故时间复杂度O(n³)

由于k层面的状态记录可以省略，所以实际需要保持d[i][j]的数组，故空间复杂度O(n²)

五、代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<memory.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1005;

int d[N][N], n, m;
int main(void) {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	//把d初始化为邻接矩阵
	memset(d, INF, sizeof(d));
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		d[i][i] = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y, z;
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		d[x][y] = min(d[x][y], z);//保留从x直接到y中最短的路径
	}
	//floyd
	for (int k = 1; k <= n; k++)
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);

	printf("\n");
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++)
			printf("%d ", d[i][j]);
		printf("\n");
	}	
}
/*测试例子
4 8
1 2 2
1 3 6
1 4 4
2 3 3
3 1 7
3 4 1
4 1 5
4 3 12
*/