RSA算法原理与应用-优快云博客

RSA算法

互质
两个整数互质可以分为两种情况：
1. 两个数均为质数
2. 其中一个为质数
3. p为大于1的整数，与p-1互质
4. p为大于1的奇数，与p-2互质

欧拉函数

ϕ (n) : 所 有 大 于 0 小 于 等 于 n 的 整 数 与 n 互 质 的 个 数

${\phi}(n):所有大于0小于等于n的整数与n互质的个数$

函数性质:
1. ${\phi}(1) = 1$
2. $当n为质数时， {\phi}(n)=n-1$
3. 当n为质数的某次方时， $即n = p^k,则{\phi}(n)=p^k - p^{k-1}$ ，这是因为只有当一个数不包含p因子时，才可能与n互质，而包含质数p的因子一共有 $p^{k-1} 个,即1*p,2*p,3*p,..., p^{k-1}*p$ , 把它们去除，剩下的就是与n互质的数, 也可以写为 ${\phi}(n)=p^k({1-\frac{1}{p}})$
4. 如果n可以分解成两个互质的整数之积， $n = p1 * p2,则 {\phi} = {\phi}{(p1 * p2)} = {\phi}(p1){\phi}(p2) = (p-1)(q-1)$ 证明
5. 对于任意一个大于1的正整数，都可以写成一些列质数之积 $n = p_1^{k_1} * p_2^{k_2} * p_3^{k_3} * ... * p_r^{k_r}$ ，根据第4条结论知
${\phi}(n) = {\phi}(p_1^{k_1}){\phi}(p_2^{k_2}){\phi}(p_3^{k_3})...{\phi}(p_r^{k_r})=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...p_r^{k_r}({1-\frac{1}{p}})({1-\frac{1}{p_1}})({1-\frac{1}{p_2}})({1-\frac{1}{p_3}})...({1-\frac{1}{p_r}})$

Euler’s theorem:

如果a与n互质，且已知n的Euler函数 ${\phi}(n)$ ,则，

$a ϕ (n) \equiv 1 (m o d n)$ $a^{{\phi}(n)} \equiv 1\ (mod\ n)$

Fermat’s little theorem:

假设a与质数p互质，由结论2知 ${\phi}(p)=p-1$ ,则由Euler定理知

$a ϕ (p) = a p - 1 \equiv 1 (m o d n)$ $a^{{\phi}(p)}= a^{p-1} \equiv 1\ (mod\ n)$

Modular multiplicative inverse(模反元素)：

$a b \equiv 1 (m o d n)$ $ab \equiv 1\ (mod\ n)$
即如果两个正整数a与n互质，则一定可以找到整数b,使得(ab - 1)能够被n整除。或者说(ab-1)除以n的余数为1，此时b称为a的模反元素。
模反元素必定存在，因为
$a ϕ (n) = a * a ϕ (n - 1) \equiv 1 m o d n$ $a^{{\phi}(n)} = a * a^{{\phi}(n-1)} \equiv 1\ mod\ n$
即 $a^{{\phi}(n-1)}为a$ 的模反元素

RSA密码算法

对于一个数据块，记为M，加密之后的文本块记为C，公钥为(e,n),私钥为(d,n)则
加密过程:

$C = M e m o d n$ $C = M^e\ mod\ n$
解密过程:
$M = C d m o d n$ $M = C^d\ mod\ n$

RSA算法设计步骤
- step1 随机选择两个不相等的质数p,q,计算 $n = p * q$
- step2 计算n的欧拉函数 $\phi(n) = (p-1)(q-1)$
- step3 随机选择一个整数e,条件是 $1 < e < \phi(n), 且e与\phi(n)互质$
- step4 计算e对于 $\phi(n)的模反元素d$