cf-675C Money Transfers

前缀和

参考点击打开链接、点击打开链接

一维前缀和

这个优化主要是用来在O（1）时间内求出一个序列a中,a[i]+a[i+1]+……+a[j]的和。

具体原理十分简单：用sum[i]表示（a[1]+a[2]+……+a[i])，其中sum[0]=0，则（a[i]+a[i+1]+……+a[j]）即等于sum[j]-sum[i-1]。

二维前缀和

同理，有一维就有二维。对于一个矩阵a，我们也能在O（1）时间内求出子矩阵[x1~x2][y1~y2]的和。

设sum[i][j]为子矩阵[1~i][1~j]的和。则由容斥原理得：

sum[0][j]=sum[i][0]=0

a[x1~x2][y1~y2]=sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]

应用问题

核心就两个字：降维。

面对许多高维问题，往往前缀和是最先想到的降维方法。 
这样在降维的基础上，许多更进一步的优化才能实现。

题目点击打开链接

题意：有n家银行围成一个圈，有个人在有些银行里欠了钱，在一些银行里有存钱，欠的钱总数等于存的钱总数。

现在可以有操作，如果两个银行相邻，那么就能在一个银行转任意多的钱到另一个银行。问最少的操作次数，使得在所有银行的存款钱数都为0

思路：贪心，前缀和维护

#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#define maxn 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long ll; 
using namespace std;
int main(){
int n,m,ans;
ll a[maxn];
map<ll,int> b;
cin>>n;
ll sum=0;
memset(a,0x3f,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i];
	sum+=a[i];
	b[sum]++;
	ans=max(ans,b[sum]);
} 
cout<<n-ans<<endl;
return 0;
}