LeetCode#4* Median of Two Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0
Example 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

       题意：给定两个有序序列，要求两个序列综合后的中位数。
       我就是直接用插入法将它们合并成一个序列，再求中位数，该算法是O(m+n)，在LeetCode上是AC的，甚至打败了一半多的人，说明其在时间复杂度的控制是不严谨的。我的代码如下：

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<int>nums;
        int size1=nums1.size();
        int size2=nums2.size();
        int size=size1+size2;
        int med1,med2;
        if(size%2==0)
        {
            med1=size/2-1;
            med2=size/2;
        }
        else 
        {
            med1=med2=size/2;
        }
        int vis1=0,vis2=0;
        int i;
        while(vis1<size1&&vis2<size2)
        {
            while(vis1<size1&&nums1[vis1]<=nums2[vis2]){
                nums.push_back(nums1[vis1]);
                vis1++;
            }
            if(vis1>=size1)break;
            nums.push_back(nums2[vis2]);
            vis2++;
        }
        if(vis1<size1){
            for(i=vis1;i<size1;i++)
            nums.push_back(nums1[i]);
        }
        else if(vis2<size2)
        {
            for(i=vis2;i<size2;i++)
            nums.push_back(nums2[i]);
        }
        return (nums[med1]+nums[med2])/2.0;
    }
};

       后来，看了网上的算法，真正符合对数级复杂度的算法是一种通用的求两有序序列第k小元素的算法，详细介绍参考了LeetCode（4）算法参考在此，表示对该博主的感谢。

算法思想：
       该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。

• 首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
• 当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
• 当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)

       通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：

• 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
• 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
• 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个。
  网上的代码如下：(用递归的方式实现寻找第k小的数)

double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)  
{  
    //always assume that m is equal or smaller than n  
    if (m > n)  
        return findKth(b, n, a, m, k);  
    if (m == 0)  
        return b[k - 1];  
    if (k == 1)  
        return min(a[0], b[0]);  
    //divide k into two parts  
    int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;  
    if (a[pa - 1] < b[pb - 1])  
        return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);  
    else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])  
        return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);  
    else  
        return a[pa - 1];  
}  

class Solution  
{  
public:  
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)  
    {  
        int total = m + n;  
        if (total & 0x1)  
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);  
        else  
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)  
                    + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;  
    }  
};