四元数基础

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#线性代数 #深度学习

于 2022-05-13 18:20:41 首次发布

本文详细介绍了四元数的基本构造、运算规则，包括实数、复数和四元数的定义，以及它们在几何运算中的应用，如共轭、逆元和规范化。重点讲解了四元数乘法、标量乘法、微分和除法，以及四元数在矢量表示、矩阵表示中的应用。

1 四元数

	实数	复数	四元数（超复数）
	$λ0\lambda_0$	$λ0+λ1i\lambda_0+\lambda_1i$	$λ0+λ1i+λ2j+λ3k\lambda_0+\lambda_1i+\lambda_2j+\lambda_3k$
实部	$λ0\lambda_0$	$λ0\lambda_0$	$λ0\lambda_0$
虚部	0	$λ1i\lambda_1i$	$λ1i+λ2j+λ3k\lambda_1i+\lambda_2j+\lambda_3k$

四元数	$Λ=λ0+λ1i+λ2j+λ3k\Lambda=\lambda _{0}+\lambda_1i+\lambda_2j+\lambda_3k$
单元	$1 = 1 + 0 i + 0 j + 0 k$
零元	$0 = 0 + 0 i + 0 j + 0 k$
负元	$−Λ=−λ0−λ1i−λ2j−λ3k-\Lambda=-\lambda _{0}-\lambda _{1}i-\lambda_2j-\lambda_3k$
共轭元	$Λ∗=λ0−λ1i−λ2j−λ3k\Lambda^{\ast}=\lambda _{0}-\lambda_1i-\lambda_2j-\lambda_3k$
逆元	$Λ−1=1λ0+λ1i+λ2j+λ3k=Λ∗λ02+λ12+λ22+λ32=Λ∗∣∣Λ∣∣\Lambda ^{-1}=\frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_1i+\lambda _{2}j+\lambda _3k}=\frac{\Lambda ^{\ast }}{\lambda_{0}^{2}+\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda_3 ^{2}}=\frac{\Lambda ^{\ast }}{\|\|\Lambda\|\|}$
范数或模	$N=∣∣Λ∣∣=λ02+λ12+λ22+λ32∣∣Λ∣∣=Λ∘Λ∗=λ02+λ12+λ22+λ32N=\sqrt{\|\|\Lambda\|\|}=\sqrt{\lambda^2_0+\lambda^2_1+\lambda^2_2+\lambda^2_3} \\ \|\|\Lambda\|\|=\Lambda \circ \Lambda^{\ast}=\lambda^2_0+\lambda^2_1+\lambda^2_2+\lambda^2_3$

虚数单位乘法（直角坐标系-右手定则）	$i∘i=j∘j=k∘k=−1i∘j=k=−j∘ik∘i=j=−i∘kj∘k=i=−k∘ji\circ i=j\circ j=k\circ k=-1 \\ i\circ j=k=-j\circ i\\ k\circ i=j=-i\circ k\\ j\circ k=i=-k\circ j$
四元数	$[q0q1q2q3]T\boldsymbol{P}=p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_3k\ =\ \begin{bmatrix} p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} \end{bmatrix}^{\rm T} \\ \boldsymbol{Q}=q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_3k\ =\ \begin{bmatrix} q_{0} & q_{1} & q_{2} & q_{3} \end{bmatrix}^{\rm T}$
四元数相等	$P=Q⇔pi=qi,i=0,1,2,3\boldsymbol{P}=\boldsymbol{Q}\Leftrightarrow p_{i}=q_{i},i=0,1,2,3$
四元数和差	$P±Q=(p0±q0)+(p1±q1)i+(p2±q2)j+(p3±q3)k\boldsymbol{P\pm Q}=(p_0\pm q_0)+(p_1\pm q_1)i+(p_2\pm q_2)j+(p_3\pm q_3)k$
四元数标量乘	$aP=ap0+ap1i+ap2j+ap3ka\boldsymbol{P}=ap_{0}+ap_1i+ap_{2}j+ap_{3}k$
四元数微分	$Q˙=q0˙+q1˙i+q2˙j+q3˙k若Λ=P∘Q,则Λ˙=P˙∘Q+P∘Q˙\dot{\boldsymbol{Q}}=\dot{q_{0}}+\dot{q_{1}}i+\dot{q_{2}}j+\dot{q_3}k \\ 若\boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q},则\dot{\boldsymbol{\Lambda}}=\dot{\boldsymbol{P}}\circ\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{P}\circ\dot{\boldsymbol{Q}}$

2 四元数乘法

$\boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q}=(p_{0}+\boldsymbol{p}) \circ(q_{0}+\boldsymbol{q}) \\ =(p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k) \circ (q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_3k) \\ =[p_{0}q_{0}-(p_{1}q_1+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3})] + \\ [p_{1}q_{0}+p_0q_1 + (p_{2}q_{3}-p_{3}q_{2})]i + \\ [p_{2}q_0+p_0q_{2}+(p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3})] j + \\ [p_{3}q_{0}+p_0q_3+(p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}) ] k\\ =[p_{0}q_0-( p_{1}q_{1}+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3})] + \\ (p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k)q_{0} + \\ (q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k)p_{0} + \\ [(p_2q_3-p_3q_2)i+(p_3q_1-p_1q_3)j+(p_1q_2-p_2q_1)k]$

2.1 矢量运算表示

标量积	矢量积
$p⋅q=p1q1+p2q2+p3q3\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}=p_{1}q_1+p_{2}q_{2}+p_{3}q_{3}$	$p×q=∣ijkp1p2p3q1q2q3∣\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{q} =\begin{vmatrix}i&j&k \\p_1&p_2&p_3 \\q_1&q_2&q_3\end{vmatrix}$

$\boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q}=p_0q_0-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{q}+\boldsymbol{p}q_{0}+\boldsymbol{q}p_{0}+\boldsymbol{p}\times\boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{Q}\circ\boldsymbol{P}=q_0p_0-\boldsymbol{q}\cdot\boldsymbol{p}+\boldsymbol{q}p_{0}+\boldsymbol{p}q_{0}+\boldsymbol{q}\times\boldsymbol{p} \\ \boldsymbol{P}\circ \boldsymbol{Q} \neq \boldsymbol{Q}\circ \boldsymbol{P}$

2.2 矩阵表示

$\Lambda \ =\ \boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q} \ =\ \lambda_0+\lambda_1i+\lambda_2j+\lambda_3k$
$\begin{bmatrix} \lambda_{0} \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \end{bmatrix} \ =\ \begin{bmatrix} p_{0} & -p_{1} & -p_{2} & -p_3 \\ p_{1} & p_{0} & -p_3 & p_{2} \\ p_{2} & p_{3} & p_{0} & -p_1 \\ p_3 & -p_{2} & p_{1} & p_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_{0} \\ q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{bmatrix} \\ \ =\ \begin{bmatrix} q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_3 \\ q_1 & q_0 & q_3 & -q_{2} \\ q_{2} & -q_3 & q_0 & q_{1} \\ q_{3} & q_{2} & -q_{1} & q_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{0} \\ p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{bmatrix} \\$
$V(\boldsymbol{p}) \ =\ \begin{bmatrix} p_{0} & -p_{3} & p_{2} \\ p_{3} & p_{0} & -p_{1} \\ -p_{2} & p_{1} & p_{0} \end{bmatrix}$

四元数连乘
$\boldsymbol{Q}\circ\boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{\Lambda} \ =\ \begin{bmatrix} q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_3 \\ q_{1} & q_{0} & -q_3 & q_{2} \\ q_{2} & q_{3} & q_{0} & -q_1 \\ q_3 & -q_{2} & q_{1} & q_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_{0} & -p_{1} & -p_{2} & -p_3 \\ p_{1} & p_{0} & -p_3 & p_{2} \\ p_{2} & p_{3} & p_{0} & -p_1 \\ p_3 & -p_{2} & p_{1} & p_{0} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{0} \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{2} \\ \lambda_{3} \end{bmatrix}$

3 四元数的除法

设 $P、Q、Λ\boldsymbol{P}、\boldsymbol{Q}、\boldsymbol{\Lambda}$ 为三个四元数
若 $Q∘Λ=P\boldsymbol{Q}\circ\boldsymbol{\Lambda}=\boldsymbol{P}$ ，则 $Λ=Q−1∘P\boldsymbol{\Lambda=\boldsymbol{Q}^{-1}\circ\boldsymbol{P}}$ 称为左除
若 $Λ∘Q=P\boldsymbol{\Lambda}\circ\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{P}$ ，则 $Λ=P∘Q−1\boldsymbol{\Lambda=\boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q}^{-1}}$ 称为右除
$Q−1∘P≠P∘Q−1\boldsymbol{Q}^{-1}\circ\boldsymbol{P} \neq \boldsymbol{P}\circ\boldsymbol{Q}^{-1}$ ，左除和右除不等

4 规范化四元数

四元数 $Λ=λ0+λ1i+λ2j+λ3k\boldsymbol{\Lambda} =\lambda _{0}+\lambda _{1}i+\lambda _{2}j+\lambda_3k$ 的模为 $N=λ02+λ12+λ22+λ32N=\sqrt{\lambda^2_0+\lambda^2_1+\lambda^2_2+\lambda^2_3}$ ，则四元数 $Λ=N(λ0N+λ1i+λ2j+λ3kN)=N(λ0N+λN)\boldsymbol{\Lambda} =N(\dfrac{\lambda_0}{N}+\dfrac{\lambda _{1}i+\lambda_{2}j+\lambda_3k}{N}) =N(\dfrac{\lambda _{0}}{N}+\dfrac{\boldsymbol{\lambda }}{N})$ .

四元数矢量部分的模 $∣λ∣=λ12+λ22+λ32|\boldsymbol{\lambda}| =\sqrt{\lambda^2_1+\lambda^2_2+\lambda^2_3}$ ，引入单位矢量 $ξ=λ∣λ∣\boldsymbol{\xi} =\dfrac{\boldsymbol{\lambda}}{| \boldsymbol{\lambda}|}$ ，则四元数规范化为 $Λ=N[λ0N+λ12+λ22+λ32Nξ]\boldsymbol{\Lambda} =N[ \dfrac{\lambda _{0}}{N}+\dfrac{\sqrt{\lambda _{1}^{2}+\lambda_2^{2}+\lambda_3^{2}}}{N}\boldsymbol{\xi}]$ ，规范四元数标量部分的平方与单位矢量系数的平方和为 $1$ .

令 $λ0N=cosθ,λ12+λ22+λ32N=sinθ,0⩽θ⩽π\dfrac{\lambda_0}{N}=\rm{cos}\theta,\dfrac{\sqrt{\lambda^2_1+\lambda^2_2+\lambda^2_3}}{\it N}=\rm{sin}\theta,0\leqslant\theta\leqslant\pi$ ，则 $Λ=N(cosθ+ξsinθ)\boldsymbol{\Lambda}=N(\rm cos\theta+\boldsymbol{\xi}\rm sin\theta)$ .如果 $N = 1$ ，可得规范化四元数 $E=cosθ+ξsinθ\boldsymbol{E}=\rm cos\theta+\boldsymbol{\xi}\rm sin\theta$ .