AVL树

最新推荐文章于 2025-07-14 15:09:33 发布
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分类专栏： 数据结构 文章标签： 数据结构
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/A_fearless_engineer/article/details/102493214
本文深入探讨AVL树的概念，一种自平衡二叉查找树，重点讲解树的高度、旋转及其实现细节，包括左左旋转、左右旋转、右右旋转和右左旋转等关键操作。

摘要生成于 C知道 ，由 DeepSeek-R1 满血版支持， 前往体验 >

文章目录

简介

  AVL树是最早发明的自平衡二叉查找树。AVL树要求任意节点的两个子树的高度差不大于一，所以是一种高度平衡的二叉查找树。AVL树的高度平衡性使得其查找性能十分优越，但也正是由于其高度平衡性使得每插入或删除一个节点需要一次或多次树旋转来平衡这棵树。因为在大多数环境中AVL树查找快速的优点无法掩盖它插入或删除时操作复杂的缺点，所以UNIX和C++STL中的平衡树大部分使用的是红黑树而不是AVL树。
  AVL树是一棵二叉搜索树，在阅读此篇博客前需要读者具备二叉搜索树的相关知识以及二叉搜索树插入和删除节点的算法基础。

树的高度

  所谓树的高度在AVL树中的定义是：空指针的高度为零，叶子节点的高度为一，非叶子节点的高度为高度较高的子节点的高度加一。
  AVL树时刻要保持平衡，所以如果插入或删除一个节点后树发生了失衡，就需要立即对树进行旋转以保持树的平衡。在AVL树中插入或删除一个节点可以让树的高度不变或者高度加一，不可能出现其他情况。由于AVL树的任意节点的两个子树的高度差不大于一，所以插入或删除节点后若发生树的失衡，其两棵子树的高度差只可能为二。

树的旋转

  AVL树失衡时其高度差只能为二，高度差为二失衡总共有以下六种。

失衡情况一
A
B
H
C
F
D
E
失衡情况二
A
B
H
D
C
E
F
失衡情况三
A
B
K
C
D
E
F
H
I
失衡情况四
A
D
B
E
C
F
H
失衡情况五
A
D
B
C
H
E
F
失衡情况六
A
E
B
C
D
F
G
H
I

  在以上六种情况中情况三和情况六不可能在AVL中出现，因为在出现情况三之前已经出现了情况一和情况二，出现情况六之前已经出现了情况四和情况五。所以最终我们只需要解决四种失衡情况，对应这四种情况有以下四种旋转方式来调节平衡。

左左旋转
A
B
H
C
F
D
E
B
C
A
F
H
D
E

左右旋转
A
B
H
D
C
E
F
C
B
A
D
E
F
H

右右旋转
A
D
B
E
C
F
H
B
A
C
D
E
F
H

右左旋转
A
D
B
C
H
E
F
C
A
B
D
E
F
H

实现代码

C语言

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef int ELEMENT;
typedef struct __tree_node{
    ELEMENT data;///节点元素
    size_t high;///当前节点的高度
    struct __tree_node *left, *right;///左右子节点指针
}TREE_NODE;
/** \brief 元素比较函数
 *
 * \param x ELEMENT
 * \param y ELEMENT
 * \return int
 *
 */
int element_compare(ELEMENT x,ELEMENT y){
    return x-y;
}
/** \brief 获取节点高度
 *
 * \param root TREE_NODE* 节点或空节点
 * \return int 节点高度，空节点为零
 *
 */
size_t __avl_get_high(TREE_NODE *root){
    return root ? root->high : 0;
}
/** \brief 计算节点高度
 *
 * \param root TREE_NODE* 非空节点
 * \return int 节点高度
 *
 */
size_t __avl_calculate_high(TREE_NODE *root){
    return ((__avl_get_high(root->left)>__avl_get_high(root->right))?__avl_get_high(root->left):__avl_get_high(root->right))+1;
}
/** \brief 左左旋转
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_left_left(TREE_NODE *root){
    TREE_NODE *temp = root->left;
    root->left = temp->right;
    temp->right = root;
    root->high = __avl_calculate_high(root);
    temp->high = __avl_calculate_high(temp);
    return temp;
}
/** \brief 右右旋转
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_right_right(TREE_NODE *root){
    TREE_NODE *temp = root->right;
    root->right = temp->left;
    temp->left = root;
    root->high = __avl_calculate_high(root);
    temp->high = __avl_calculate_high(temp);
    return temp;
}
/** \brief 左右旋转
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_left_right(TREE_NODE *root){
    TREE_NODE *temp = root->left->right;
    root->left->right = temp->left;
    temp->left = root->left;
    root->left = temp->right;
    temp->right = root;
    root->high = __avl_calculate_high(root);
    temp->high = __avl_calculate_high(temp);
    temp->left->high = __avl_calculate_high(temp->left);
    return temp;
}
/** \brief 右左旋转
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_right_left(TREE_NODE *root){
    TREE_NODE *temp = root->right->left;
    root->right->left = temp->right;
    temp->right = root->right;
    root->right = temp->left;
    temp->left = root;
    root->high = __avl_calculate_high(root);
    temp->high = __avl_calculate_high(temp);
    temp->right->high = __avl_calculate_high(temp->right);
    return temp;
}
/** \brief 左旋转（非右子树旋转）
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后的根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_left(TREE_NODE *root){
    if(__avl_get_high(root->left->left) < __avl_get_high(root->left->right)){  ///左子树的右子树高度高则左右旋转
        root = __avl_rotate_left_right(root);
    }else{
        root = __avl_rotate_left_left(root);
    }
    return root;
}
/** \brief 右旋转（非左子树旋转）
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \return TREE_NODE* 旋转后根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_rotate_right(TREE_NODE *root){
    if(__avl_get_high(root->right->right) < __avl_get_high(root->right->left)){  ///右子树的左子树高度高则右左旋转
        root = __avl_rotate_right_left(root);
    }else{
        root = __avl_rotate_right_right(root);
    }
    return root;
}
/** \brief 左调整（非右子树调整）
 *
 * \param root TREE_NODE* 调整前的根节点
 * \return TREE_NODE* 调整后的根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_adjust_left(TREE_NODE *root){
    if(__avl_get_high(root->left)-__avl_get_high(root->right) == 2){///左子树是否过高
        root = __avl_rotate_left(root);
    }else{///旋转函数中含有高度计算，如果树并未失衡则需要单独计算高度
        root->high = __avl_calculate_high(root);
    }
    return root;
}
/** \brief 右调整（非左子树调整）
 *
 * \param root TREE_NODE* 调整前的根节点
 * \return TREE_NODE* 调整后的根节点
 *
 */
TREE_NODE *__avl_adjust_right(TREE_NODE *root){
    if(__avl_get_high(root->right)-__avl_get_high(root->left) == 2){///右子树是否过高
        root = __avl_rotate_right(root);
    }else{///旋转函数中含有高度计算，如果树并未失衡则需要单独计算高度
        root->high = __avl_calculate_high(root);
    }
    return root;
}
/** \brief 创建节点
 *
 * \param data ELEMENT 节点内的数据
 * \return TREE_NODE* 节点指针
 *
 */
TREE_NODE *create_node(ELEMENT data){
    TREE_NODE *temp = (TREE_NODE *)malloc(sizeof(TREE_NODE));
    if(temp){
        temp->data = data;
        temp->high = 1;
        temp->left = NULL;
        temp->right = NULL;
    }
    return temp;
}
/** \brief 向树中插入节点
 *
 * \param root TREE_NODE* 旋转前根节点
 * \param data ELEMENT 需要插入的节点
 * \return TREE_NODE* 插入后的根节点
 *
 */
TREE_NODE *avl_insert(TREE_NODE *root,ELEMENT data){
    int diff;
    if(root){
        diff = element_compare(data,root->data);
        if(diff < 0){///向左子树中插入节点
            root->left = avl_insert(root->left,data);///递归插入节点
            root = __avl_adjust_left(root);
        }else if(0 < diff){///向右子树中插入节点
            root->right = avl_insert(root->right,data);///递归插入节点
            root = __avl_adjust_right(root);
        }
    }else{///根节点为空则将插入节点作为根节点
        root = create_node(data);
    }
    return root;
}
/** \brief 移出树中最左侧节点
 *
 * \param root TREE_NODE** 指向根节点指针的指针
 * \return TREE_NODE* 指向移出节点的指针
 *
 */
TREE_NODE *avl_remove_leftmost(TREE_NODE **root){
    TREE_NODE *temp;
    if((*root)->left){
        temp = avl_remove_leftmost(&(*root)->left);///递归找到最左侧节点
        *root = __avl_adjust_right(*root);
    }else{
        temp = *root;
        *root = temp->right;
    }
    return temp;
}
/** \brief 移出树中最右侧节点
 *
 * \param root TREE_NODE** 指向根节点指针的指针
 * \return TREE_NODE* 指向移出节点的指针
 *
 */
TREE_NODE *avl_remove_rightmost(TREE_NODE **root){
    TREE_NODE *temp;
    if((*root)->right){
        temp = avl_remove_rightmost(&(*root)->right);///递归找到最右侧节点
        *root = __avl_adjust_left(*root);
    }else{
        temp = *root;
        *root = temp->left;
    }
    return temp;
}
/** \brief 移出树的根节点
 *
 * \param root TREE_NODE** 指向根节点指针的指针
 * \return TREE_NODE* 指向移出节点的指针
 *
 */
TREE_NODE *remove_root(TREE_NODE **root){
    TREE_NODE *temp = *root;
    if(temp->left||temp->right){///该节点是否存在子节点
        if(__avl_get_high(temp->right) < __avl_get_high(temp->left)){///如果左子树高则从左子树中选取新的根节点
            *root = avl_remove_rightmost(&(temp->left));///移出左子树中最右侧节点作为新的根节点
            (*root)->left = temp->left;
            (*root)->right = temp->right;
            *root = __avl_adjust_right(*root);
        }else{
            *root = avl_remove_leftmost(&(temp->right));///移出右子树中最左侧节点作为新的根节点
            (*root)->left = temp->left;
            (*root)->right = temp->right;
            *root = __avl_adjust_left(*root);
        }
    }else{
        *root = NULL;
    }
    return temp;
}
/** \brief 移出节点
 *
 * \param root TREE_NODE** 指向根节点指针的指针
 * \param data ELEMENT 需要移出的数据
 * \return TREE_NODE* 指向移出的节点，如果没有返回为空
 *
 */
TREE_NODE *avl_remove(TREE_NODE **root,ELEMENT data){
    TREE_NODE *temp;
    int diff;
    if(*root){
        diff = element_compare(data,(*root)->data);
        if(diff<0){
            temp = avl_remove(&(*root)->left,data);///递归
            *root = __avl_adjust_right(*root);
        }else if(diff>0){
            temp = avl_remove(&(*root)->right,data);///递归
            *root = __avl_adjust_left(*root);
        }else{///找到目标节点
            temp = remove_root(root);
        }
        return temp;
    }
    return NULL;///空节点返回空
}
/** \brief 查找节点
 *
 * \param root TREE_NODE* 根节点指针
 * \param data ELEMENT 目标元素
 * \return TREE_NODE* 指向目标节点的指针
 *
 */
TREE_NODE *avl_find(TREE_NODE *root,ELEMENT data){
    int diff;
    if(root){
        diff = element_compare(data,root->data);
        if(diff<0){///目标值小于该节点向左子树递归查找
            root = avl_find(root->left,data);
        }else if(diff>0){///目标值大于该节点向右子树递归查找
            root = avl_find(root->right,data);
        }///目标值等于该节点则不会陷入递归直接返回该节点
    }
    return root;
}

void print(TREE_NODE *node){
    printf("%d %d\n",node->data,node->high);
}
void preorder_base(TREE_NODE *root){
    if(root){
        print(root);
        preorder_base(root->left);
        preorder_base(root->right);
    }
}
void preorder(TREE_NODE *root){
    printf("preoder:\n");
    preorder_base(root);
}
void inorder_base(TREE_NODE *root){
    if(root){
        inorder_base(root->left);
        print(root);
        inorder_base(root->right);
    }
}
void inorder(TREE_NODE *root){
    printf("inorder:\n");
    inorder_base(root);
}

int main(){
    int test[] = {
        89,70,52,48,78,52,47,55,99
    };
    TREE_NODE *root = NULL;
    for(size_t i=0;i<sizeof(test)/sizeof(ELEMENT);i++){
        root = avl_insert(root,test[i]);
    }
    inorder(root);
    preorder(root);

    if(avl_find(root,test[2])){
        printf("find success\n");
    }else{
        printf("find fail\n");
    }
    if(avl_remove(&root,test[2])){
        printf("remove success\n");
    }else{
        printf("remove fail\n");
    }
    if(avl_find(root,test[2])){
        printf("find success\n");
    }else{
        printf("find fail\n");
    }

    printf("remove min: %d\n",avl_remove_leftmost(&root)->data);
    inorder(root);
    preorder(root);

    printf("remove min: %d\n",avl_remove_leftmost(&root)->data);
    inorder(root);
    preorder(root);

    printf("remove min: %d\n",avl_remove_leftmost(&root)->data);
    inorder(root);
    preorder(root);

    printf("remove max: %d\n",avl_remove_rightmost(&root)->data);
    inorder(root);
    preorder(root);

    printf("remove max: %d\n",avl_remove_rightmost(&root)->data);
    inorder(root);
    preorder(root);

    return 0;
}
AVL 树
sqjddb的博客
03-10 525
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07-16
在计算机科学中，AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。AVL树得名于它的发明者...
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10-09 1211
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04-24 2602
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moran114的博客
11-01 1055
AVL树是二叉搜索树的改进版本，思考一下，二叉搜索树有什么问题？当我们向二叉搜索树里插入有序序列时，那么二叉搜索树就会退化成线性的，查找效率会变成O(n)
数据结构——AVL树
未知陨落的博客
11-16 2495
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度
数据结构：AVL树
decade777555的博客
03-07 1654
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii 和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
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{}// 该节点的左孩子// 该节点的右孩子// 该节点的双亲T _data;int _bf;// 该节点的平衡因子// 节点的颜色// 红黑树节点的定义{}// 节点的左孩子// 节点的右孩子// 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)// 节点的值域// 节点的颜色。
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Avl树
07-07
AVL树是一种自平衡的二叉查找树，它确保了树的高度始终保持在对数级别，从而保证了查找、插入和删除操作的时间复杂度为O(log n)。这种数据结构以它的发明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis的名字命名[^1]。 ### AVL树的定义 - **平衡因子**：每个节点都有一个平衡因子，它是该节点左子树的高度减去右子树的高度。对于AVL树来说，所有节点的平衡因子只能是-1, 0或1。 - **空树**：如果T是空树，则它自然是一个AVL树。 - **非空树**：若T不是空树，则其左右子树TL和TR都必须是AVL树，并且对于任意节点，|HL - HR| ≤ 1（其中HL和HR分别表示左子树和右子树的高度）。 ### AVL树的操作 当进行插入或删除操作时，可能会破坏AVL树的平衡性，这时需要通过旋转来重新恢复平衡： - **单旋转**： - 左单旋（Single Rotate with Left）用于处理左孩子的左子树过高。 - 右单旋（Single Rotate with Right）用于处理右孩子的右子树过高。 - **双旋转**： - 左右双旋（Double Rotate with Left）用于处理左孩子的右子树过高的情况。 - 右左双旋（Double Rotate with Right）用于处理右孩子的左子树过高的情况。 这些旋转操作可以保持AVL树的性质不变，并且能够快速地调整树的结构以维持平衡。 ### AVL树的实现 下面是一个简单的C语言代码示例，展示了如何定义AVL树的节点以及实现基本的插入操作。这个例子中包含了必要的函数声明和一些核心逻辑。 ```c #include <stdio.h> #include <stdlib.h> // 定义AVL树节点结构体 typedef struct AvlNode { int element; struct AvlNode *left; struct AvlNode *right; int height; // 节点的高度 } *AvlTree, *Position; // 获取两个整数中的较大者 int max(int a, int b) { return (a > b) ? a : b; } // 计算给定节点的高度 static int Height(AvlTree T) { if (T == NULL) return -1; // 空节点高度为-1 else return T->height; } // 单旋转 - 左左情况 AvlTree singlerotatewithLeft(AvlTree K2) { Position K1 = K2->left; K2->left = K1->right; K1->right = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->left), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 单旋转 - 右右情况 AvlTree singlerotatewithRight(AvlTree K2) { Position K1 = K2->right; K2->right = K1->left; K1->left = K2; // 更新节点高度 K2->height = max(Height(K2->left), Height(K2->right)) + 1; K1->height = max(Height(K1->right), K2->height) + 1; return K1; // 新根 } // 双旋转 - 左右情况 AvlTree doublerotatewithLeft(AvlTree K3) { K3->left = singlerotatewithRight(K3->left); return singlerotatewithLeft(K3); } // 双旋转 - 右左情况 AvlTree doublerotatewithRight(AvlTree K3) { K3->right = singlerotatewithLeft(K3->right); return singlerotatewithRight(K3); } // 插入新元素到AVL树中 AvlTree Insert(int x, AvlTree T) { if (T == NULL) { // 如果树为空，创建新节点 T = (AvlTree)malloc(sizeof(struct AvlNode)); if (T == NULL) printf("Out of space!!!"); else { T->element = x; T->left = T->right = NULL; T->height = 0; // 新叶节点高度为0 } } else if (x < T->element) { // 向左子树插入 T->left = Insert(x, T->left); // 检查并修复平衡 if (Height(T->left) - Height(T->right) == 2) { if (x < T->left->element) T = singlerotatewithLeft(T); // 左左旋转 else T = doublerotatewithLeft(T); // 左右旋转 } } else if (x > T->element) { // 向右子树插入 T->right = Insert(x, T->right); // 检查并修复平衡 if (Height(T->right) - Height(T->left) == 2) { if (x > T->right->element) T = singlerotatewithRight(T); // 右右旋转 else T = doublerotatewithRight(T); // 右左旋转 } } // 更新高度 T->height = max(Height(T->left), Height(T->right)) + 1; return T; } ``` 上述代码提供了AVL树的基本框架，包括节点定义、插入操作及必要的旋转方法。实际应用中可能还需要添加更多的功能，如删除节点、查找特定值等。
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