最短Hamilton路径（二进制状态压缩dp）

题目描述

给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图，点从 0~n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入

第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数，其中第i行第j个整数表示点i到j的距离（一个不超过10^7的正整数，记为a[i,j]）。
对于任意的x,y,z，数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出

一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。

样例输入

4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0

样例输出

4

提示

从0到3的Hamilton路径有两条，0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5，后者的长度为1+2+1=4

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 题意：

1为起点，n为终点的最短汉密顿路径。数据保证 a[x,x]=0，a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]

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思路：

二进制状态压缩中常用的各种位操作的含义：

• 取状态为sta，位置为 i 的数字：sta&(1<<i) 
• 把第 i 位设置为1：sta=sta|(1<<i)
• 把第 i 位设置为0：sta=sta&(~(1<<i) )
• 把第 i 位取反：sta=sta^(1<<i)
• 取出sta的最后一个1：(sta&-sta)，运用补码表示的相关知识

用二进制上的数代表一个点的状态，取（1）或不取（0）。题目让求从点1到n的最短汉密顿路径，即经过每个点一次，这时的状态用二进制表示就是 (1<<n)-1 （n个1）。用dp[j][i]表示在状态 i 下，从1到 j 的最短汉密顿路径。
dp[j][i]可由上一个状态（上一状态就是把 j从当前状态中去掉）dp[k][i^(1<<(j-1))]得到，其中保证k是上一状态（i^(1<<(j-1))）中存在的点，即 i&1<<(k-1)==1。
有动态转移方程：dp[j][i]=min(dp[j][i],dp[k][i^(1<<(j-1))]+map[k][j])。

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代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[25][25], dp[25][1<<20], n;
int main()
{
    cin >> n;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    dp[1][0]=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) for(int j=1; j<=n; ++j) cin>>a[i][j];
    for(int i=1; i<=(1<<n)-1; ++i)
        for(int j=1; j<=n; ++j)
            if(i&1<<(j-1))    //保证当前点j在状态i中
                for(int k=1; k<=n; ++k)
                    if(i&1<<(k-1))    //保证k在上一状态中
                        dp[j][i]=min(dp[j][i], dp[k][i^(1<<(j-1))]+a[k][j]); //题目保证a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]
    cout << dp[n][(1<<n)-1] <<endl;
}