以下是使用 C++ 实现计算在一个 `n` 行 `m` 列的
棋盘上，从
左上角出发，卒每步只能向下或向右移动一格且不能移动到黑色格子上，
走到右下角的可行
方案数并对 `1e9 + 7` 取模的代码：
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int uniquePathsWithObstacles
(int n, int m, vector<pair<int, int>>& blackGrids
) {
vector<vector<int>> dp
(n, vector<int>
(m, 0
));
vector<vector<bool>> isBlack
(n, vector<bool>
(m, false
));
// 标记黑色格子
for
(auto& grid : blackGrids
) {
int x = grid.first - 1;
int y = grid.second - 1;
isBlack[x][y] = true;
}
// 初始化第一行和第一列
if
(!isBlack[0][0]
) {
dp[0][0] = 1;
}
for
(int i = 1; i < n; ++i
) {
if
(!isBlack[i][0]
) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
}
}
for
(int j = 1; j < m; ++j
) {
if
(!isBlack[0][j]
) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1];
}
}
// 动态规划计算
方案数
for
(int i = 1; i < n; ++i
) {
for
(int j = 1; j < m; ++j
) {
if
(!isBlack[i][j]
) {
dp[i][j] =
(dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
) % MOD;
}
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
int main
() {
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
vector<pair<int, int>> blackGrids
(k
);
for
(int i = 0; i < k; ++i
) {
int x, y;
cin >> x >> y;
blackGrids[i] = {x, y};
}
int result = uniquePathsWithObstacles
(n, m, blackGrids
);
cout << result << endl;
return 0;
}
```
### 代码解释
1. **初始化**：创建一个 `dp` 二维数组用于存储到达每个格子的
方案数，同时创建一个 `isBlack` 二维数组用于标记黑色格子。
2. **标记黑色格子**：将输入的黑色格子坐标标记到 `isBlack` 数组中。
3. **初始化第一行和第一列**：如果起点不是黑色格子，则 `dp[0][0]` 设为 1。对于第一行和第一列的其他格子，如果不是黑色格子，则其
方案数等于前一个格子的
方案数。
4. **动态规划计算
方案数**：对于其他格子，如果不是黑色格子，则其
方案数等于上方格子和左方格子的
方案数之和，并对 `MOD` 取模。
5. **返回结果**：最终返回 `dp[n - 1][m - 1]`，即到达
右下角的
方案数。
### 复杂度分析
- **时间复杂度**：$O
(nm
)$，其中 $n$ 和 $m$ 分别是
棋盘的行数和列数。
- **空间复杂度**：$O
(nm
)$，主要用于存储 `dp` 数组和 `isBlack` 数组。
### 数据范围适用性
该代码可以处理 30% 数据范围 `1 <= n, m <=
2000, 1 <= k <=
2000` 和 100% 数据范围 `1 <= n, m <= 100000, 1 <= k <=
2000`。
本文探讨了组合数学在解决从左上角到右下角的路径计数问题中的应用，提供了公式C(n+m-2,n-1)表示路径总数，并解释了路径之和的计算公式C(n+m-1,n)-1。此外，阐述了第n行的路径和为C(n+m-1,n)，并推荐了Codeforces Global Round 21的E题题解作为进一步阅读资料。
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