Nelder-Mead(simplex,“单纯形”)算法

Nelder-Mead算法是一种用于求解多维函数极值的简单有效方法,尤其适用于变量不多的情况。该文介绍了算法的基本原理及实现步骤,并通过具体示例展示了如何使用此算法进行迭代寻优。

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 求多维函数极值的一种算法,由Nelder和Mead提出,又叫单纯形算法,但和线性规划中的单纯形算法是不同的,由于未利用任何求导运算,算法比较简单,但收敛速度较慢,适合变元数不是很多的方程求极值,算法的基本思想如下:
给定n个特征,可以构造一个具有n+1个顶点的单纯形,初始化时需(n+1)*n维矩阵(看成是有n+1个顶点的单纯形) ,矩阵的每一行为n元向量,x0为第一行,xi=x0+r*ei,r为对问题的特征长度大小的估计值,ei为单位向量,x0可初始化为全为1的向量,即认为每个特征权重是相同的,然后选取其余的,在选取过程中,r可以取相同的值也可以取不同的值(r可以看作是对第i个特征权重的调整)  。
算法运行过程(以机器翻译中的rerank为例):
 假定BLEU=f(特征的和),对n+1个顶点(n维向量)分别计算BLEU值(取相反数),然后从中选出BLEU(相反数)最大,次大和最小的三个点,算法每次都是把其中的最大点对应的各权重进行调整,使其变小向最小点靠拢,调整完毕后,计算其对应的BLEU,再从这些BLEU中选出BLEU(相反数)最大,次大和最小的三个点,一直迭代下去,直到最高点到最低点的比率范围合适或达到最大迭代次数为止。
源码:
double famoeb(double x[],vector<double> feat)
{//计算所有特征*权重的和
 double y=0.0;
 for(int i=0;i<FeatNum;i++)
 {
  y+=x[i+1]*feat[i];
 }
 return y;
}
//单纯形算法
void amoeba(double p[],double y[],int mp,int np,int ndim,double ftol,int& iter)
{
 int i,j,ihi,inhi,mpts,nmax=20;
 double ypr,yprr,rtol,alpha=1.0;
 double beta=0.5;
 double gamma=2.0;
 int itmax=500;
 double pr[21],prr[21],pbar[21];
 mpts=ndim+1;
 iter=0;
 do
 {
  int ilo=1;
  if(y[1]>y[2])
  {
   ihi=1;
   inhi=2;
  }
  else
  {
   ihi=2;
   inhi=1;
  }
  for(i=1;i<=mpts;i++)
  {//寻找函数值中的最大,最小和次大值
   if(y[i]<y[ilo])
   {
    ilo=i;
   }
   if(y[i]>y[ihi])
   {
    inhi=ihi;
    ihi=i;
   }
   else
   {
    if(y[i]>y[inhi])
    {
     if(i!=ihi)
     {
      inhi=i;
     }
    }
   }
  }//结束寻找各种函数极值
  rtol=2.0*fabs(y[ihi]-y[ilo])/(fabs(y[ihi])+fabs(y[ilo]));//计算从最高点到最低点的比率范围,如合适则返回
  if(rtol<ftol)
  {
   erase(pbar,prr,pr);
   return;
  }
  if(iter==itmax)//如到了最大的迭代次数,则返回
  {
   cout<<"amoeba exceeding maximum iterations."<<endl;
   return;
  }
  iter=iter+1;//进行下一次迭代
  for(j=1;j<=ndim;j++)
  {
   pbar[j]=0.0;
  }
  for(i=1;i<=mpts;i++)
  {
   if(i!=ihi)
   {
    for(j=1;j<=ndim;j++)
    {
     pbar[j]=pbar[j]+p[(i-1)*np+j];
    }
   }
  }
  for(j=1;j<=ndim;j++)
  {
   pbar[j]=pbar[j]/ndim;
   pr[j]=(1.0+alpha)*pbar[j]-alpha*p[(ihi-1)*np+j];//求反射点
  }
  vector<int> BestNo;
  ChooseOneBest(pr,numSentences,alldata,StartEndIndices,BestNo);
  //开始计算BLEU值
  vector<pairnum> initialScore(N_gram);
  double referenceLength=0.0;//参考翻译总长度
  for(int k=0;k<numSentences;k++)
  {
   int sent=BestNo[k];//当前句子的最好候选翻译的序号
   for(int l=0;l<N_gram;l++)
   {
    initialScore[l].left+=alldata[sent].ngram_data[l].left;
    initialScore[l].right+=alldata[sent].ngram_data[l].right;
   }
   referenceLength+=alldata[sent].closest_length;
  }
  ypr=-BLEU(initialScore,referenceLength);//计算本轮lamda所对应的bleu
  if(ypr<=y[ilo])
  {//得到一个比最佳点稍好的结果,用gamma做一次外推
   for(j=1;j<=ndim;j++)
   {
    prr[j]=gamma*pr[j]+(1.0-gamma)*pbar[j];
   }
   vector<int> BestNo1;
   ChooseOneBest(prr,numSentences,alldata,StartEndIndices,BestNo1);
   //开始计算BLEU值
   vector<pairnum> initialScore1(N_gram);
   double referenceLength1=0.0;//参考翻译总长度
   for(int m=0;m<numSentences;m++)
   {
    int sent=BestNo1[m];//当前句子的最好候选翻译的序号
    for(int n=0;n<N_gram;n++)
    {
     initialScore1[n].left+=alldata[sent].ngram_data[n].left;
     initialScore1[n].right+=alldata[sent].ngram_data[n].right;
    }
    referenceLength1+=alldata[sent].closest_length;
   }
   yprr=-BLEU(initialScore1,referenceLength1);//计算本轮lamda所对应的bleu
   if(yprr<y[ilo])
   {//以扩张点prr作为新的单纯形中的点
    for(j=1;j<=ndim;j++)
    {
     p[(ihi-1)*np+j]=prr[j];
    }
    y[ihi]=yprr;
   }
   else
   {//以反射点pr作为单纯形中得点
    for(j=1;j<=ndim;j++)
    {
     p[(ihi-1)*np+j]=pr[j];
    }
    y[ihi]=ypr;
   }
  }
  else
  {//反射点不如最佳点,同次高点比较
   if(ypr>=y[inhi])
   {//反射点不如次高点,取一个中等程度低的点作一次一维收缩
    if(ypr<y[ihi])
    {
     for(j=1;j<=ndim;j++)
     {
      p[(ihi-1)*np+j]=pr[j];
     }
    }
    y[ihi]=ypr;
    for(j=1;j<=ndim;j++)
    {
     prr[j]=beta*p[(ihi-1)*np+j]+(1.0-beta)*pbar[j];
    }
    vector<int> BestNo2;
    ChooseOneBest(prr,numSentences,alldata,StartEndIndices,BestNo2);
    //开始计算BLEU值
    vector<pairnum> initialScore2(N_gram);
    double referenceLength2=0.0;//参考翻译总长度
    for(int s=0;s<numSentences;s++)
    {
     int sent=BestNo2[s];//当前句子的最好候选翻译的序号
     for(int t=0;t<N_gram;t++)
     {
      initialScore2[t].left+=alldata[sent].ngram_data[t].left;
      initialScore2[t].right+=alldata[sent].ngram_data[t].right;
     }
     referenceLength2+=alldata[sent].closest_length;
    }
    yprr=-BLEU(initialScore2,referenceLength2);//计算本轮lamda所对应的bleu
    if(yprr<y[ihi])
    {//以prr作为新单纯形中的点
     for(j=1;j<=ndim;j++)
     {
      p[(ihi-1)*np+j]=prr[j];
     }
     y[ihi]=yprr;//更新当前最高点出的函数值
    }
    else
    {//单纯性太大,缩小原来的单纯形
     for(i=1;i<=mpts;i++)
     {
      if(i!=ilo)
      {
       for(j=1;j<=ndim;j++)
       {
        pr[j]=0.5*(p[(i-1)*np+j]+p[(ilo-1)*np+j]);
        p[(i-1)*np+j]=pr[j];
       }
       vector<int> BestNo3;
       ChooseOneBest(pr,numSentences,alldata,StartEndIndices,BestNo3);
       //开始计算BLEU值
       vector<pairnum> initialScore3(N_gram);
       double referenceLength3=0.0;//参考翻译总长度
       for(int u=0;u<numSentences;u++)
       {
        int sent=BestNo3[u];//当前句子的最好候选翻译的序号
        for(int v=0;v<N_gram;v++)
        {
         initialScore3[v].left+=alldata[sent].ngram_data[v].left;
         initialScore3[v].right+=alldata[sent].ngram_data[v].right;
        }
        referenceLength3+=alldata[sent].closest_length;
       }
       y[i]=-BLEU(initialScore3,referenceLength3);//计算本轮lamda所对应的bleu
      }
     }
    }
   }
   else
   {//反射点好于次高点,以反射点pr作为单纯形中得点
    for(j=1;j<=ndim;j++)
    {
     p[(ihi-1)*np+j]=pr[j];
    }
    y[ihi]=ypr;
   }
  }
 }while(1);
}
<think>嗯,我现在要理解Nelder-Mead单纯形算法的原理和实现。首先,我需要弄清楚什么是单纯形单纯形在数学里通常指的是n维空间中的几何形状,比如二维中是三角形,三维中是四面体。Nelder-Mead方法应该就是利用这样的几何结构来进行优化的吧。 根据引用里的信息,Nelder-Mead是一种无导数优化方法,不需要计算梯度,这对于那些难以求导的问题应该很有用。那它的具体步骤是怎样的呢?根据引用[2]和[5],算法通过在d维空间构建d+1个顶点组成的多面体,然后通过反射、扩展、收缩等操作来更新这个单纯形,逐步逼近最优解。 让我先理清楚基本步骤。初始时,生成一个包含d+1个顶点的单纯形,每个顶点对应一个解。然后计算每个顶点的函数值,排序后确定最差点、次差点和最佳点。接下来,可能需要计算反射点,如果反射点比当前最佳点好,就进行扩展;如果反射点比最差点好,但不如次差点,就替换最差点;如果反射点也不太好,可能进行收缩或者缩小整个单纯形。 但是具体的参数是怎样的呢?比如反射系数、扩展系数、收缩系数,这些参数通常取多少?根据引用[5],反射系数α通常是1,扩展系数γ是2,收缩系数β是0.5,缩减系数σ是0.5。这些参数是否固定,还是可以调整? 然后是迭代过程,每次根据不同的情况调整单纯形的形状,直到满足终止条件,比如函数值的收敛或单纯形的大小足够小。这里可能需要比较各顶点的函数值差异,或者单纯形的体积是否趋近于零。 关于实现部分,引用[3]和[4]提到有Python的实现,可以基于NumPy。那如何用代码来表示单纯形的顶点?可能需要一个数组来存储每个顶点的坐标和对应的函数值。每次迭代时,根据反射、扩展等操作生成新的点,并替换原来的顶点。 例如,在Python中,可以定义一个函数来生成初始单纯形。初始点可以由用户提供,然后其他顶点通过添加一定的步长生成。比如在二维空间中,初始点可能是(x0, y0),其他两个顶点是(x0+step, y0)和(x0, y0+step),这样形成一个三角形。 然后,每次迭代时,先计算所有顶点的函数值并排序。找到最佳点、次差点和最差点。计算反射点,检查反射点的函数值,根据情况决定是否扩展或替换。如果反射点不好,可能需要收缩,即向最佳点方向移动。如果所有方法都失败,可能需要缩小单纯形,即所有顶点向最佳点靠拢。 在编写代码时,需要注意循环的终止条件,比如最大迭代次数、函数值的容差或单纯形顶点的位置变化。此外,如何处理高维空间中的单纯形操作,可能需要向量运算,利用NumPy的数组操作来简化代码。 不过,Nelder-Mead方法也有缺点,比如可能陷入局部最优,尤其是在高维问题中。引用[5]提到它结合了哈里斯鹰算法进行改进,这说明原始方法可能存在收敛速度慢或全局搜索能力不足的问题。因此,在实际应用中可能需要结合其他策略来增强性能。 总的来说,Nelder-Mead算法的核心是通过单纯形的几何变换,逐步逼近最优解。它的实现需要处理顶点的排序、反射、扩展、收缩等步骤,并合理设置参数和终止条件。接下来可能需要通过一个具体的例子,比如优化一个二维函数,来验证算法的步骤是否正确,或者查看代码示例来加深理解。</think>### Nelder-Mead单纯形算法原理与实现 #### **一、算法原理** Nelder-Mead算法是一种无导数的直接搜索优化方法,通过在$d$维空间中构造包含$d+1$个顶点的单纯形(如二维中的三角形、三维中的四面体),并通过反射、扩展、收缩等几何操作逐步逼近最优解[^2][^5]。其核心步骤如下: 1. **初始化** 在$d$维空间中生成$d+1$个顶点,每个顶点对应一个候选解。例如,初始点$x_0$可随机生成,其他顶点通过添加步长$\delta$得到: $$x_i = x_0 + \delta \cdot e_i \quad (i=1,2,\dots,d)$$ 其中$e_i$为单位向量。 2. **排序顶点** 计算每个顶点对应的目标函数值$f(x_i)$,按值从小到大排序,确定最佳点$x_b$、次差点$x_s$和最差点$x_w$。 3. **反射(Reflect)** 计算反射点$x_r$: $$x_r = x_c + \alpha (x_c - x_w)$$ 其中$x_c = \frac{1}{d}\sum_{i \neq w} x_i$为去除最差点后的质心,$\alpha$为反射系数(通常$\alpha=1$)。若$f(x_r) < f(x_b)$,进行**扩展**;若$f(x_b) \leq f(x_r) < f(x_s)$,用$x_r$替换$x_w$[^2]。 4. **扩展(Expand)** 若反射点$x_r$优于当前最佳点,则进一步计算扩展点$x_e$: $$x_e = x_c + \gamma (x_r - x_c)$$ 其中$\gamma$为扩展系数(通常$\gamma=2$)。若$f(x_e) < f(x_r)$,用$x_e$替换$x_w$,否则用$x_r$替换$x_w$。 5. **收缩(Contract)** 若反射点$x_r$劣于次差点$x_s$,则进行收缩操作: - **外收缩**:当$f(x_s) \leq f(x_r) < f(x_w)$时,计算外收缩点$x_{oc}$: $$x_{oc} = x_c + \beta (x_r - x_c)$$ 若$f(x_{oc}) \leq f(x_r)$,用$x_{oc}$替换$x_w$。 - **内收缩**:当$f(x_r) \geq f(x_w)$时,计算内收缩点$x_{ic}$: $$x_{ic} = x_c + \beta (x_w - x_c)$$ 若$f(x_{ic}) < f(x_w)$,用$x_{ic}$替换$x_w$。 6. **缩减(Shrink)** 若收缩失败,则将所有顶点向最佳点$x_b$靠拢: $$x_i = x_b + \sigma (x_i - x_b) \quad (i \neq b)$$ 其中$\sigma$为缩减系数(通常$\sigma=0.5$)。 --- #### **二、算法实现(Python示例)** 以下是一个简化的Python实现框架(需配合NumPy库): ```python import numpy as np def nelder_mead(f, x0, alpha=1, gamma=2, beta=0.5, sigma=0.5, max_iter=1000, tol=1e-6): n = len(x0) simplex = [x0] for i in range(n): x = x0.copy() x[i] += 1.0 # 步长可调整 simplex.append(x) simplex = np.array(simplex) for _ in range(max_iter): # 排序顶点 f_values = [f(x) for x in simplex] order = np.argsort(f_values) simplex = simplex[order] f_values = np.array(f_values)[order] x_b, x_s, x_w = simplex[0], simplex[-2], simplex[-1] f_b, f_s, f_w = f_values[0], f_values[-2], f_values[-1] # 计算质心 x_c = np.mean(simplex[:-1], axis=0) # 反射 x_r = x_c + alpha * (x_c - x_w) f_r = f(x_r) if f_r < f_b: # 扩展 x_e = x_c + gamma * (x_r - x_c) if f(x_e) < f_r: simplex[-1] = x_e else: simplex[-1] = x_r elif f_r < f_s: # 替换最差点 simplex[-1] = x_r else: # 收缩 if f_r < f_w: x_oc = x_c + beta * (x_r - x_c) if f(x_oc) <= f_r: simplex[-1] = x_oc continue else: x_ic = x_c + beta * (x_w - x_c) if f(x_ic) < f_w: simplex[-1] = x_ic continue # 缩减 for i in range(1, n+1): simplex[i] = x_b + sigma * (simplex[i] - x_b) # 检查收敛条件 if np.std(f_values) < tol: break return x_b ``` --- #### **三、应用场景与局限性** - **适用场景**:无导数优化问题、目标函数计算成本高、非光滑或噪声较大的函数优化[^3]。 - **局限性**:高维问题易陷入局部最优、收敛速度较慢。 ---
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