动态规划求解01背包问题

最新推荐文章于 2026-01-05 22:36:07 发布

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#动态规划 #算法 #leetcode

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该博客介绍了使用动态规划解决背包问题的基本思想和方法。通过状态转移方程f[i][Y]=max{f[i-1][Y],f[i-1][Y-c[i]]+w[i]}

题目：有N件物品和一个容量为Y，的背包。第i件物品的重量是C[i]，价值是w[i]。求解将
哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思想：f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为Y的背包可以获得的最大价值。“将前i件物品放入容量为Y的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品放或不放，那么就转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“将前i-1件物品放入容量为Y的背包中”，价值为f[i-1][Y]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][Y-c[i]]再加上放入第i件物品获得的价值w[i]。

状态转移方程：f[i][Y]=max{f[i-1][Y],f[i-1][Y-c[i]+w[i]}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int c[1024], w[1024], f[1024][1024];
int N, Y;
int main()
{
cin >> N >> Y; // 输入物品个数、背包容量
for(int i = 1; i <= N; i ++)
cin >> c[i] >> w[i]; // 输入每种商品的容量、价值
for(int i = 1; i <= N; i ++)
for(int j = 1; j <= Y; j ++)
{
if(j >= c[i])
f[i][j] = max(f[i-1][Y], f[i-1][Y-c[i]] + w[i]); // 状态转移方程
}
cout << f[N][Y] << endl;
return 0;
}