poj3696.The Luckiest number (阶 && 欧拉函数 && 欧几里德)

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本文探讨了如何通过数学计算找出至少由多少个连续的'8'组成的自然数能够成为特定数值的倍数。通过求解公式和计算过程，文章详细介绍了解题步骤及关键概念。

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给定一个正整数 L ，问至少多少个 8 连在一起组成的正整数可以是 L 的倍数

N 个 8 组成的自然数是 (10 ^ N - 1) / 9 * 8。原题即为求最小的 N 满足 (10 ^ N - 1) / 9 * 8 = k * L。设 t = gcd（L, 8）。上式即为 8(10 ^ N - 1 ） / t = 9kL。显然 8/t， 9L/t 都是整数，且 gcd(8/t, 9L/t)=1。所以 (9L/t) | (10 ^ N - 1)。也就是 10^N = 1(mod 9L/t)。也就是 10 关于 9L/t 的阶。于是 N 是 φ（9L/t）的约数。检查所有约数即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int MAX_N = 50000;

typedef long long LL;

LL n, d[MAX_N << 1], cnt = 0;
LL a;

int gcd(int x, int y)
{
	if(!y) return x;
	return gcd(y, x % y);
}

LL mult(LL a, LL b, LL p)
{
    LL ret = 0;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ret = (ret + a) % p;
        a = 2 * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

LL power(LL x, LL n, LL p)
{
    LL ret = 1;
    x %= p;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ret = mult(ret, x, p);
        x = mult(x, x, p);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

void doit()
{
	int g = gcd(8, n);
	a = (LL)(9 * (n / g)); 
	LL f = 1, t = a;   
    for(LL i = 2; i * i<= a; i ++){
        if (t % i == 0){        
            f *= (i-1); t /= i;
            while(t%i ==0){
                f *= i;    
                t /= i;
            }
        }
        if (t == 1) break;    
    }
    if (t > 1) f *= (t-1); //计算phi
	 
	for (LL i = 1; i * i <= f; i ++){
		if (f % i == 0) d[++ cnt] = i, d[++ cnt] = f / i;
	}
	sort(d + 1, d + cnt + 1); // 计算phi的因子 
	
	bool ok = 0;
	for (int i = 1; i <= cnt; i ++){
		//printf("%lld ", power(10, d[i], a));
		if(power(10, d[i], a) == 1) { ok = 1; printf("%lld\n", d[i]); break; }
	}
	if (!ok) printf("0\n");
} 

int main()
{
	int tot = 0;
	while(scanf("%lld", &n) != EOF){
		if (n == 0) break;
		printf("Case %d: ", ++ tot);
		cnt = 0;
		doit();
	}
	return 0;
}