C++学习日记#6——牛顿插值公式

Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，理论分析方便，但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变换，实际计算不方便。借此引入牛顿插值公式。

均差表计算公式：

均差表

xi	f(xi)	一阶均差	二阶均差	...	n阶均差
x0	f(x0)			...
x1	f(x1)	f[x0,x1]		...
x2	f(x2)	f[x1,x2]	f[x0,x1,x2]	...
.	.	.	.	...	.
xn	f(xn)	f[x(n-1),xn]	f[x(n-2),x(n-1),xn]	...	f[x0,x1,..,xn]

 程序思路

程序包括了三个模块：赋值、求解以及输出模块

这一次将着重介绍输出均差表的输出模块。在这一次的编写程序中，有一个新奇点的是在输出模块中实现了下三角的表格输出。使用循环嵌套，第一个执行的循环将完成表格的横向输出，第二个执行的循环将完成纵向输出。从均差表中可以看出第一行只有一个f(x0),第二行有f(x1)、f[x0,x1],以此类推到第n行有n个。这就要求每次执行外层的循环一次后到执行内层循环时，内层循环的次数将加一。符合这种关系的循环判断变量就是外层循环的递增变量i，所以内层循环的循环判断变量是与i有关。

    for (int i = 1; i <= n; i++)//
    {
        cout << x[i] << "  ";
        for (int j = 0; j <= i - 1; j++)
        {
            cout << F[j][i - j] << "   ";
        }
        cout << endl;//第一行输出完后，换行继续输出下一行
    }//两个for循环构成下三角形输出。

附上实现程序（Visual Studio 2019）

#include <iostream> 
#include <iomanip>

double x[100];//定义式样点的x值
double F[100][100];//定义各阶均差值
double xk;//定义插入点xk值
double Fk;//定义插入点xk对应的Fk函数值
void func_F(int n);//调用求各阶均差值函数
double func_Fk(int n);//调用求xk插值点的函数值

int main()
{
    using namespace std;
    int n;
    cout << "式样点个数" << endl;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << "x" << i << "和" << "f" << i << endl;
        cin >> x[i] >> F[0][i];
    }
    cout << "输入求解点xk" << endl;
    cin >> xk;//赋值模块
    func_F(n);//调用求各阶均差值函数
    func_Fk(n);//调用求xk插值点的函数值
    cout << "*********输出结果*********" << endl;
    cout << "********牛顿均差表********" << endl;
    cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(3);//输出结果保留3位小数
    for (int i = 1; i <= n; i++)//
    {
        cout << x[i] << "  ";
        for (int j = 0; j <= i - 1; j++)
        {
            cout << F[j][i - j] << "   ";
        }
        cout << endl;//第一行输出完后，换行继续输出下一行
    }//两个for循环构成下三角形输出。
    cout << endl;
    cout << "xk对应的函数值Fk为：" << Fk;
    return 0;
}

void func_F(int n)//调用求各阶均差值函数
{
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n - i; j++)
        {
            F[i][j] = (F[i - 1][j + 1] - F[i - 1][j]) / (x[j + i] - x[j]);
        }
    }
}

double func_Fk(int n)//调用求xk插值点的函数值
{
    double w = 1;
    Fk = F[0][1];
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        w *= xk - x[i];
        Fk += w * F[i][1];
    }
    return Fk;
}

例题

1	2	3	4
0	2	2	5

求f(2.5)的牛顿插值：

不足

这次程序还有一些不足，并不能把每一列的数据靠左对齐，上面的截图是一种特殊情况。列与列之间的空间是通过cout << "   ";这输出空格的形式得出的，但是当前面的数据的长度与上一行不同时，将会导致每一列的数据不对齐。