扩展欧几里德算法（半成品）

最新推荐文章于 2019-04-29 16:25:53 发布

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本文介绍了使用欧几里德算法快速求解两个整数的最大公约数的方法，并进一步讲解了扩展欧几里德算法，该算法不仅可以求得最大公约数还能找到满足特定线性方程的整数解。

欧几里德有个很有用的定理：

gcd(a, b) = gcd(b , a%b)

这样，我们就可以很快求解出来 a 和 b 的最大公约数而不需要枚举了。

例：

public class Main {

	static int gcd(int a, int b) {
		if (b == 0)
			return a;
		else
			return gcd(b, a % b);
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int a = in.nextInt();
		int b = in.nextInt();
		System.out.println(gcd(a, b));
	}
}

输入：5 15
输出：5

扩展欧几里德是：一定存在（x,y）使得 ax + by = gcd(a,b);

换种说法：

对于不完全为0的非负整数a，b，gcd(a, b)表示a, b的最大公约数，

必定存在整数对x，y，满足ax+by==gcd(a, b)。

例：

public class Main {

	static int e_gcd(int a, int b, int x, int y) {
		if (b == 0) {
			x = 1;
			y = 0;
			return a;
		}
		int ans = e_gcd(b, a % b, x, y);
		int temp = x;
		x = y;
		y = temp - a / b * y;
		return ans;
	}

	public static void main(String[] args) {
		Scanner in = new Scanner(System.in);
		int a = in.nextInt();
		int b = in.nextInt();
		System.out.println(e_gcd(a, b, 0, 1));
	}
}

这个方法依然可以求最大公约数，而且还可以干些别的事情！

(未完。。。续待）