乘幂法求矩阵的特征值及特征向量

当n阶矩阵的特征值计算变得复杂时,乘幂法提供了一种数值计算的解决方案。该方法通过迭代公式xk+1=Axk求解特征向量,并在误差足够小时停止,得到主特征向量及其对应的特征值。对于相等特征值的情况,可以通过调整初始向量继续寻找其他特征对。

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An阶矩阵,如果数 λ n维非零列向量 x 使关系式:

Ax=λx,

成立,则称数 λ 为方阵 A 的特征值,非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 λ 的特征向量。

特征值问题是对方阵而言的,对应的特征向量x0n阶方阵 A 的特征值,就是使其次线性方程组(AλI)x=0有非零解的λ值,即满足方程|AλI|=0λ都是矩阵A的特征值。

|AλI|=0a11λa21an1a12a22λan2a1na2nannλ=0.

一般计算方法是第一步先求解特征值λ:求A的特征值λ就是求|AλI|=0的根;接下来再求解特征向量x:求A的相应于λ

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