乘幂法求矩阵的特征值及特征向量

最新推荐文章于 2023-12-26 21:41:13 发布

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#数值计算方法 #特征值 #特征向量 #线性代数 #迭代算法

当n阶矩阵的特征值计算变得复杂时，乘幂法提供了一种数值计算的解决方案。该方法通过迭代公式xk+1=Axk求解特征向量，并在误差足够小时停止，得到主特征向量及其对应的特征值。对于相等特征值的情况，可以通过调整初始向量继续寻找其他特征对。

设 $\textbf{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\textbf{x}$ 使关系式：

A x = λ x,

$\textbf{A}\textbf{x}=\lambda\textbf{x},$
成立，则称数

λ $\lambda$ 为方阵

A $\textbf{A}$ 的特征值，非零向量

x $\textbf{x}$ 称为

A $\textbf{A}$ 的对应于特征值

λ $\lambda$ 的特征向量。

特征值问题是对方阵而言的，对应的特征向量 $\textbf{x}\neq 0$ ； $n$ 阶方阵 $\textbf{A}$ 的特征值，就是使其次线性方程组 $(\textbf{A}- λ\textbf{I})\textbf{x}=0$ 有非零解的 $\lambda$ 值，即满足方程 $|\textbf{A}- λ\textbf{I}|=0$ 的 $\lambda$ 都是矩阵 $\textbf{A}$ 的特征值。

| A - λ I | = 0 \Leftrightarrow ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 - λ a 21 ⋮ a n 1 a 12 a 22 - λ ⋮ a n 2 \dots \dots ⋮ \dots a 1 n a 2 n ⋮ a n n - λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0.

$|\textbf{A}- λ\textbf{I}|=0 \Leftrightarrow \left |\begin{matrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}-\lambda \end{matrix}\right |=0.$

一般计算方法是第一步先求解特征值 $\lambda$ ：求 $\textbf{A}$ 的特征值 $\lambda$ 就是求 $|\textbf{A}- \lambda\textbf{I}|=0$ 的根；接下来再求解特征向量 $\textbf{x}$ ：求 $\textbf{A}$ 的相应于λ