MA(q)阶模型求解原理

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文章标签：笔记

于 2023-12-19 08:45:02 首次发布

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本文介绍了如何通过已知输入序列的自相关系数矩阵和MA模型阶数，首先将MA模型转化为AR模型，然后通过迭代计算求解AR模型参数，最后利用AR模型与MA模型的关系确定MA参数。

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条件：已知输入序列的自相关系数矩阵和MA模型阶数 $q$ ，求解MA模型参数

q阶MA模型可以表示为：

${x(n)=\varepsilon (n)+{{b}_{1}}\varepsilon (n-1)+\cdots +{{b}_{q}}\varepsilon (n-q)}$

其自相关函数表示为：

${r_x}(r) = E\{ [\varepsilon (n) + {b_1}\varepsilon (n - 1) + \cdots + {b_q}\varepsilon (n - q)][\varepsilon (n - r) + {b_1}\varepsilon (n - r - 1) + \cdots + {b_q}\varepsilon (n - r - q)]\}$

${ = \sum\limits_{k = r}^q {{b_k}{b_{k - r}} \cdot {\sigma ^2}} ,r \le q}$

上式为非线性，不能直接求解MA的参数。需要将其转化为AR模型

1.转化为 ${AR(\infty )}$ 模型

MA模型的系统函数可以表示为：

$X(z)=B(z)E(z)$

可以转化为AR模型:

$A(z)X(z)=E(z)$

其中

$A(z)=1/B(z)=\frac{1}{1+{{b}_{1}}{{z}^{-1}}+\cdots +{{b}_{q}}{{z}^{-q}}}<=>1+\sum\limits_{k=1}^{\infty }{{{a}_{k}}{{z}^{-k}}}$

${AR(\infty)}$ 模型与MA模型的关系满足

${A(z)B(z)=1}$

2. ${AR(\infty)}$ 模型的求解

自相关系数 ${r_x}(r)$ 已知，从p=1开始迭代计算 $AR(p)$ 模型的参数 ${{a}_{1}}...{{a}_{p}}$ ，直到 ${{a}_{p+1}}<threshold$ ，作为此时从 $AR(p)$ 模型截断阶数p，求解得到此时的AR模型参数 ${{a}_{1}}...{{a}_{p}}$

${AR(\infty)}$ 模型求解得到 $p$ 个AR模型参数以及白噪声方差 ${{\sigma }^{2}}$

由于 $p$ 不可能无穷大，因此这里对AR模型的参数进行了截断到p阶，p的数量由自定义的threshold决定，当 ${{a}_{p+1}}<threshold$ 时默认后面的参数影响较小忽略不计， ${{a}_{1}}...{{a}_{p}}$ 为AR模型估计值 ${{\hat{a}}_{k}}$ 。需要注意的是 $q\ll p$ ，在选定threshold时需要注意满足此条件