优化模型中的非线性项线性化方法（持续更新）_big-m等效非线性约束-优快云博客

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本文介绍了在构建优化问题模型时，面对非线性项如何通过bigM法进行线性化的处理，包括连续变量和01变量的乘积以及用if语句表示的约束条件实例。着重展示了bigM法的具体应用和难点，鼓励读者多阅读文献并参与讨论。

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在建立优化问题的模型时，目标函数和约束条件中出现非线性项，会导致模型呈现非线性，即NLP问题，采用商业求解器一般很难求解，故需要对非线性项进行线性化处理。下面用于记录阅读文献时遇到的线性化方法，不做过多定义，分别进行举例说明便于理解。

一、bigM法

1、两个连续变量相乘带来的非线性项

出现在约束中：
如KKT条件的互补松弛约束
$λ(x−y−b)=0\lambda(x-y-b)=0$
$\lambda \ge 0$
$x−y−b≥0x-y-b\ge 0$
x,y为连续变量，其中 $λ\lambda$ 为对偶乘子，b为常数，上述等式约束构成了两个连续变量的相乘，采用bigM法线性化过程如下式所示
$λ≤Mz\lambda \le Mz$
$x−y−b≤M(1−z)x-y-b\le M(1-z)$
出现在目标函数中：
$xy\underset{x,y}{\mathop{\min }}\,xy$
当x和y都为连续变量，非线性项由两个连续变量相乘带来，进行如下处理：
$y=∑j=1JΔy⋅zjy=\sum\limits_{j=1}^{J}{\Delta y\cdot {{z}_{j}}}$
$∑j=1Jzj≤Zmax⁡\sum\limits_{j=1}^{J}{{{z}_{j}}}\le {{Z}^{\max }}$
$Δy\Delta y$ 为对y切割的大小，为一个固定的常数，具体值根据所求精度来定， ${{z}_{j}}$ 为01变量，这样两个连续变量相乘也就变为01变量与连续变量相乘 $∑j=1JΔy⋅xzj=∑j=1JUj\sum\limits_{j=1}^{J}{\Delta y\cdot x{{z}_{j}}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{U}_{j}}}$ ，目标函数替换为 $∑j=1JUj\sum\limits_{j=1}^{J}{{{U}_{j}}}$ ，可以采用2中出现在约束中的线性化方法，表示如下：
$Uj=Δy⋅xzj{{U}_{j}}=\Delta y\cdot x{{z}_{j}}$
$−M(1−zj)≤Uj−Δy⋅x≤M(1−zj)-M(1-{{z}_{j}})\le {{U}_{j}}-\Delta y\cdot x\le M(1-{{z}_{j}})$
$−Mzj≤Uj≤Mzj-M{{z}_{j}}\le {{U}_{j}}\le M{{z}_{j}}$
2、01变量与连续变量相乘带来的非线性项
出现在约束中：
在选址优化问题中经常出现，如发电机定容选址
$x≤yzx\le yz$
x,y为连续变量，z为01变量，非线性项为yz，采用bigM法线性化过程如下式所示
$n = yz$
$x≤nx\le n$
$−M(1−z)≤n−y≤M(1−z)-M(1-z)\le n-y\le M(1-z)$
$−Mz≤n≤Mz-Mz\le n\le Mz$
3、用if语句表示约束条件时，一些求解器写约束时可能不支持if判断（非线性项问题，看到了就一并记录）
$x<a\left\{ \begin{align} & y\le b\text{ if }x\ge a \\ & y\le c\text{ if }x<a \\ \end{align} \right.$
为变量，采用bigM法进行表示上述if约束条件
${a+(z−1)M≤x<a+zMy≤b+(1−z)My≤c+zM\left\{ \begin{align} & a+(z-1)M\le x<a+zM \\ & y\le b+(1-z)M \\ & y\le c+zM \\ \end{align} \right.$
上述M都为较大的正值，如何选取合适的M值是bigM法的难点