算法与复杂度

本文探讨了算法效率评估中的时间复杂度与空间复杂度,重点介绍了时间复杂度的表示法O(g(n)),并提供了不同数据规模下算法选择的指导原则。

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算法的效率

  • 算法的效率主要以时间复杂度和空间复杂度两方面来评估。
  • 相对于空间复杂度来说,时间复杂度明显是需要更多考虑的问题。
O表示法
  • 在考虑时间复杂度的时候,可以大致考虑算法的运算时间与输入数据大小(n)的关系。
  • 如O(g(n))表示该算法的时间复杂度与g(n)成正比(或称该算法是g(n)级的)。
  • 几种典型的复杂度的比较
    O(n2)>O(nlogn)>O(n)>O( n \sqrt{n} n )>O(logn)

以下转自AcWing

关于时间的估算
  • 对于时间限制为1s的大多数题目,若g(n)的数量级为106,这个程序通过基本没有问题;若g(n)的数量级为107,这个程序应该勉强能通过;至于g(n)的数量级为108,则基本没有希望了。

  • 一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。在这种情况下,C++代码中的操作次数控制在 107 为最佳。

  • 下面给出在不同数据范围下,代码的时间复杂度和算法该如何选择:

  • n≤30, n≤30, 指数级别, dfs+剪枝,状态压缩dp

  • n≤100n≤100 => O(n3),floyd,dp,高斯消元

  • n≤1000n≤1000 => O(n2),O(n2logn),dp,二分,朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford

  • n≤10000 => O(n∗ n \sqrt{n} n ),块状链表、分块、莫队

  • n≤100000 => O(nlogn) => 各种sort,线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分

  • n≤1000000 => O(n), 以及常数较小的 O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、并查集,kmp、AC自动机,常数比较小的 O(nlogn) 的做法:sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa

  • n≤10000000 => O(n),双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数

  • n≤109 => O( n \sqrt{n} n ),判断质数

  • n≤1018 => O(logn),最大公约数,快速幂

  • n≤101000 => O((logn)2),高精度加减乘除

  • n≤10100000 => O(logk×loglogk),k表示位数O(logk×loglogk),k表示位数,高精度加减、FFT/NTT

作者:yxc
链接:https://www.acwing.com/blog/content/32/
来源:AcWing

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