算法与复杂度

算法的效率

• 算法的效率主要以时间复杂度和空间复杂度两方面来评估。
• 相对于空间复杂度来说，时间复杂度明显是需要更多考虑的问题。

O表示法

• 在考虑时间复杂度的时候，可以大致考虑算法的运算时间与输入数据大小(n)的关系。
• 如O(g(n))表示该算法的时间复杂度与g(n)成正比（或称该算法是g(n)级的）。
• 几种典型的复杂度的比较
  O(n²)>O(nlogn)>O(n)>O($\sqrt{n}$)>O(logn)

以下转自AcWing

关于时间的估算

• 对于时间限制为1s的大多数题目，若g(n)的数量级为10⁶，这个程序通过基本没有问题；若g(n)的数量级为10⁷，这个程序应该勉强能通过；至于g(n)的数量级为10⁸，则基本没有希望了。

• 一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 10⁷ 为最佳。

• 下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：

• n≤30, n≤30, 指数级别, dfs+剪枝，状态压缩dp

• n≤100n≤100 => O(n³)，floyd，dp，高斯消元

• n≤1000n≤1000 => O(n²)，O(n²logn)，dp，二分，朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford

• n≤10000 => O(n∗$\sqrt{n}$)，块状链表、分块、莫队

• n≤100000 => O(nlogn) => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分

• n≤1000000 => O(n), 以及常数较小的 O(nlogn) 算法 => hash、双指针扫描、并查集，kmp、AC自动机，常数比较小的 O(nlogn) 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa

• n≤10000000 => O(n)，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数

• n≤10⁹ => O($\sqrt{n}$)，判断质数

• n≤10¹⁸ => O(logn)，最大公约数，快速幂

• n≤10¹⁰⁰⁰ => O((logn)²)，高精度加减乘除

• n≤10¹⁰⁰⁰⁰⁰ => O(logk×loglogk)，k表示位数O(logk×loglogk)，k表示位数，高精度加减、FFT/NTT

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/32/
来源：AcWing

返回目录