Codeforces Gym 101808H. Shahhoud the Chief Judge [DP+想法]

题意

给一颗树,树上每个点有权值val,定义Sum=Σ(D(u,v))(1<=u,v<=n)Sum=Σ(D(u,v))(1<=u,v<=n),D(u,v)D(u,v)为点u到v的路径权值和。

题解

定义dp[u]dp[u]表示经过点u的路径数量,因此Sum=Σ(dp[u]val[u])Sum=Σ(dp[u]∗val[u])
分类讨论
1. Sum=0Sum=0,所以ans=0ans=0
2. 存在Sum%dp[u]=0Sum%dp[u]=0,所以ans=1ans=1
3. 我们可以知道假如存在gcd(dp[u],dp[v])=1gcd(dp[u],dp[v])=1,那么肯定能使得通过调整val[u]val[u],val[v]val[v],使得Sum=0Sum=0,但是在这题中这样的两个点必定存在。证明:首先找到一个深度最大的叶子节点,那么其dp[u]=2n1dp[u]=2∗n−1,其父节点dp[parent]=6n1dp[parent]=6∗n−1,那么gcd(2n1,6n11)=gcd(2n1,8)gcd(2∗n−1,6∗n−11)=gcd(2∗n−1,−8)由于2*n-1是奇数,因此gcd(2n1,8)=1gcd(2∗n−1,−8)=1

AC代码

#include<stdio.h>
#include<vector>
#define N 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<ll>vt[N];
ll a[N],dp[N],size[N],dep[N],Fa[N],n,ans,nowdep;
void dfs(ll u,ll fa)
{
    dep[u]=dep[fa]+1;
    Fa[u]=fa;
    size[u]=1;
    if(nowdep<dep[u])nowdep=dep[u],ans=u;
    for(ll i=0;i<vt[u].size();i++)
    {
        ll to=vt[u][i];
        if(to==fa)continue;
        dfs(to,u);
        size[u]+=size[to];
        dp[u]+=(n-size[to]-1)*size[to];
    }
    dp[u]+=(n-size[u])*(size[u]-1);
    dp[u]+=(n-1)*2+1;
}
int main()
{
    ll T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        nowdep=0;
        scanf("%lld",&n);
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld",&a[i]);
            vt[i].clear();
            dp[i]=dep[i]=0;
        }
        for(ll i=0;i<n-1;i++)
        {
            ll u,v;
            scanf("%lld%lld",&u,&v);
            vt[u].push_back(v);
            vt[v].push_back(u);
        }
        dfs(1,1);
        ll sum=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            sum+=dp[i]*a[i];
        if(sum==0)
        {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll flag=0;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
            if(sum%dp[i]==0)
            {
                printf("1\n%lld\n",i);
                flag=1;
                break;
            }
        if(flag)continue;
        printf("2\n%lld %lld\n",Fa[ans],ans);
    } 
} 
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