poj 1845 Sumdiv [素数筛+母函数]

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素数筛

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本文介绍一种高效算法来求解A^B的所有约数之和。通过分解A的质因数并利用母函数特性，文章给出了一种避免使用费马小定理或扩展欧几里得的方法，并提供了AC代码实现。

题意：给你A和B，求A^B的所有约数的和

题解：可以求解A的质因子（1~sqrt(n)个素数）有哪些，然后根据母函数的特性，（2^0+2^1+2^2·····)*(3^0+3^1+3^2····)····的结果就是所有质因子组合后，所有约数的和，特别要注意这里不能用费马小定理或者扩展欧几里得求逆元，因为可能存在gcd(a,mod)!=1的情况，要二分求解答案。

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#define N 10005
#define mod 9901
using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[N],np;  
bool vis[N];  
void get_prime2() 
{  
    np = 0;  
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  
    for (ll i = 2; i < N; ++i)  
    {  
        if (!vis[i]) prime[np++]=i;  
        for (ll j = 0,t ; j < np && (t = prime[j]*i) < N; ++j)  
        {  
            vis[t] = 1;  
            if(i % prime[j] == 0) break;  
        }  
    }  
} 
ll qmi(ll a,ll b)
{
	a%=mod;
	ll ans=1;
	while(b)
	{
		if(b%2==1)ans=(ans*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		b/=2;
	}
	return ans;
}
ll who[N],num[N],top;
void div(ll x)
{
	for(ll i=0;i<np;i++)
		if(x%prime[i]==0)
		{
			who[top]=prime[i];
			while(x%prime[i]==0)
				num[top]++,x/=prime[i];
			top++;
		}
	if(x!=1)
	{
		who[top]=x;
		num[top]=1;
		top++;
	}
}
ll sum(ll p,ll n)
{
    if(p==0)return 0;
    if(n==0)return 1;
    if(n&1)
    {
        return ((1+qmi(p,n/2+1))%mod*sum(p,n/2)%mod)%mod;
    }
    else return ((1+qmi(p,n/2+1))%mod*sum(p,n/2-1)+qmi(p,n/2)%mod)%mod;

}
int main()
{
	get_prime2();
	ll a,b;
	while(cin>>a>>b)
	{
		memset(num,0,sizeof(num));
		top=0;
		div(a);
		for(ll i=0;i<top;i++)
			num[i]=num[i]*b;
		ll haha=1;
		for(ll i=0;i<top;i++)
		{
			haha=(haha*sum(who[i],num[i]))%mod;
		}
		printf("%lld\n",haha);
	}
	
}