动态规划——三角剖分问题

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问题描述

动态规划

解决方案：

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问题描述

凸多边形三角剖分是一个几何问题，是计算及图形学的一项重要技术，其问题描述是：给定一个凸多边形，以及定义在由凸多边形的边和弦组成的三角形上的权函数。要求确定该凸多边形确定该凸多边形的一个三角剖分，是的该三角剖分中诸三角形上的权之和最小。

为了更好的解决问题，这里先简述一下动态规划的思想。

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动态规划

动态规划是一种将复杂问题分解成很多子问题，并将子问题的求解结果存储起来避免重复求解的一种算法。动态规划一般用来解决最优问题。

能用动态规划解决的问题，需要满足三个条件：最优子结构，无后效性和子问题重叠。

1.最优子结构：一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

2.无后效性：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。

3.子问题重叠：如果有大量的重叠子问题，我们可以用空间将这些子问题的解存储下来，避免重复求解相同的子问题。

与分治策略率类似，动态规划也是利用了将问题分解为若干子问题的思路。不同的是，动态规划将子问题的解存储下来，避免求解相同的子问题，因此，动态规划往往应用于子问题不是相互独立的情况。

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三角剖分问题求解

由最优子结构性质可以得到以下递归：

为凸子多边形的最优三角剖分所对应的权函数值，即最优值。

核心代码如下：

void MinWeightTriangulation(int n,int m[][100],int s[][100])//计算最优值 
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		m[i][i]=0;
	for(int r=2;r<=n;r++)
	{
		for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
		{
			int j=i+r-1;
			m[i][j]=m[i+1][j]+Weight(i-1,i,j);
			s[i][j]=i;
			for(int k=i+1;k<j;k++)
			{
				int t=m[i][k]+m[k+1][j]+Weight(i-1,k,j);
				if(t<m[i][j])
				{
					m[i][j]=t;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
}

void Traceback(int i,int j,int s[][100])//构造最优三角剖分 
{
	if(i==j) return;
	Traceback(i,s[i][j],s);
	Traceback(s[i][j]+1,j,s);
	cout<<i-1<<s[i][j]<<j<<endl;
}