二分法——求近似方程的解

本文通过实例详细介绍了如何使用二分法求解方程的近似解,包括在不同区间内的应用,如x^3+4x-10=0在[1,2],e^x+10x-2=0在[0,1],以及8*x^4 + 7*x^3 + 2*x^2 + 3*x + 6 == Y在[0,100]。强调了二分法的适用条件和精度判断的重要性。" 111361662,9336631,Go语言教程:字典与字符串操作详解,"['Go', '编程语言', '数据结构', '字符串操作']

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二分法求近似方程的解的原理我就不讲了,就是类似于零点存在定理之类的东西。

所以直接以实例来讲述:

例1:用二分法求方程x^3+4x-10=0在区间[1,2]内的根(精确到0.00001)

首先我们要判断一下能不能用二分法来求解,把首末两端代入式子中去计算可以得出,代入1得-6,代入2得6,满足二分求方程的解;

#include <stdio.h>
#include <math.h>
double f(double x)
{
	return pow(x,3)+4*x-10;
}
int main()
{
	double a=1,b=2,limit=0.00001;//a,b为区间,limit为精确程度
	if(f(a)*f(b)>0)
		printf("无法用二分法求解\n"); //假设f(a)=7,f(b)=13,f(x)=0?
	else
	{
		while((b-a)>limit)
		{
			if(f((a+b)/2)*f(b)<0) //一边为正,一边为负
				a=(a+b)/2;
			else //同号
				b=(a+b)/2;
		}
		printf("%.5f\n%.5f",a,b);
	}
	return 0;
}

如果mid*右边小于0,那么则说明零点肯定是在右半部分,所以mid移到右边去。

如果mid*左边小于0,那么则说明零点肯定是在左半部分,所以mid移到左边去。

至于上面那个函数调用是直接返回了方程,这样就会比较简便了。

 

例二:

C语言在区间[0,1]内用二分法求方程e^x+10x-2=0的近似根,误差不超过0.5*10^(-3)

#include <stdio.h> 
#i
### 使用迭代法数值方程 #### 方法概述 在MATLAB中,可以使用多种迭代法来线性和非线性方程。对于线性方程组 \(Ax = b\),常见的迭代方法有雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法等;而对于非线性方程,则常用二分法和不动点迭代法。 #### 雅可比迭代法示例代码 针对给定的线性方程组 \(Ax = b\),其中\(A=\begin{pmatrix}4 & -1& 0& -1& 0& 0\\-1& 4& -1& 0& -1& 0 \\0& -1& 4& -1& 0& -1\\-1& 0& -1& 4& -1& 0\\0& -1& 0& -1& 4& -1\\0& 0& -1& 0& -1& 4 \end{pmatrix}\),\(b=\begin{pmatrix}0\\5\\-2\\5\\-2\\6\end{pmatrix}\)[^4],下面展示了一个具体的雅可比迭代法实现: ```matlab clear; clc; a=[4,-1,0,-1,0,0;-1,4,-1,0,-1,0;... 0,-1,4,-1,0,-1;-1,0,-1,4,-1,0;... 0,-1,0,-1,4,-1;0,0,-1,0,-1,4]; b=[0;5;-2;5;-2;6]; d=diag(diag(a)); % 提取对角元素形成对角阵D u=(triu(a)-d); % 上三角部分U (不包括对角线) l=(tril(a)-d); % 下三角部分L (不包括对角线) x1=b; % 初始猜测向量设为b num=0; % 记录迭代次数初始化为0 while true % 开始循环直到满足终止条件 x0=x1; % 更新估计值x2=(-D^-1)(L+U)x1+(D^-1)b x2=-inv(d)*(l+u)*x1+inv(d)*b; x1=x2; % 将新得到的x2赋值回x1准备下次迭代 n=norm(x2-x0,inf); % 检查相邻两次结果之间的差异大小 num=num+1; % 增加迭代计数器 if n<0.0001 % 如果变化足够小就结束循环 break; end end fprintf('近似为:\n'); disp(x2); fprintf('迭代次数为:%d次\n',num); ``` 这段代码实现了标准的雅可比迭代过程,并设置了简单的停止准则——即当连续两轮计算所得之间差别的绝对值小于指定阈值时认为已达到稳定状态从而退出循环。 #### 不动点迭代法简介及其应用实例 除了上述用于处理线性系统的迭代技术外,在面对单变量或多维空间内的非线性方程\(f(x)=0\)时还可以采用不动点迭代策略。该方法的核心在于找到一个映射g(x),使得原问题转化为寻找使g(x*)=x*成立的那个特殊点x*[^2]。 例如要找寻cos(x)+sin(x)-exp(-x/2)=0的一个实根可以通过构建如下形式的新表达式: \[ g(x)=(e^{-x / 2}-\cos{x})/\sin{x}, |x|>ε \] 这里选取适当的小正数作为初始试探位置并逐步调整直至发现符合条件的答案为止。具体操作方式类似于之前介绍过的流程框架只是内部逻辑有所区别而已。
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