HDU 4021 24 Puzzle(11年上海 15数码)

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题目：给出24个格子的数码的初始态和目标态，然后问能不能转换

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4021 

思路：看起来很像著名的“八数码”问题，首先，针对八个特殊位置（死角），如果这里有空位就把它和相邻的位置交换，这样之后如果两个状态的对应死角上的数字不同，那么显然是不能达到指定状态的，因为无法把死角处的数字换出去。

搞定了死角后就只剩下4×4的board了，这就变成了八数码问题的拓展——15数码。首先想想八数码是如何判断有解的：首先把所有数字（不包括空位的0）写成一行，就得到了一个1~8的排列，考虑空位的交换情况：1.左右交换，2.上下交换。对于左右交换而言，是不会改变写出的排列的逆序数的；而对上下交换，相当于在排列中向前或向后跳了两个位置，那么要么两个数都比它大或小，这样逆序数加2或减2，要么两个数一个比它大一个比它小，这样逆序数不变，综上，对于八数码问题，操作不会改变逆序数的奇偶性，所以只有初始状态和指定状态的逆序数奇偶性相同就有解。

弄清楚了八数码，扩展起来就容易了，现在我们将其扩展到N维（即N*N的board，N*N-1数码问题）。

首先无论N的奇偶，左右交换不改变逆序数，N为奇数时：上下交换逆序数增加N-1或减少N-1或不变，因为N为奇数，所以逆序数奇偶性不变；而N为偶数时：上下交换一次奇偶性改变一次。

结论：N为奇数时，初始状态与指定状态逆序数奇偶性相同即有解；N为偶数时，先计算出从初始状态到指定状态，空位要移动的行数m，如果初始状态的逆序数加上m与指定状态的逆序数奇偶性相同，则有解。

好了，现在这道题就简单了，计算逆序数和空格要移动的行数即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<map>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#define inf 110000000
#define M 10005
#define N 10005
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define pb(a) push_back(a)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define LL long long
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int init[24],goal[24];
int a[8]={0,1,2,7,16,21,22,23};
int b[16]={3,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20};
int gao(int b){
    if(b==0||b==2) return 3;
    if(b==1||b==7) return 6;
    if(b==16||b==22) return 17;
    else return 20;
}
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        for(int i=0;i<24;i++)
            scanf("%d",&init[i]);
        for(int i=0;i<8;i++)
            if(init[a[i]]==0)
                swap(init[a[i]],init[gao(a[i])]);
        for(int i=0;i<24;i++)
            scanf("%d",&goal[i]);
        for(int i=0;i<8;i++)
            if(goal[a[i]]==0)
                swap(goal[a[i]],goal[gao(a[i])]);
        bool ans=true;
        for(int i=0;i<8&&ans;i++){
        //    cout<<init[a[i]]<<" "<<goal[a[i]]<<endl;
            if(init[a[i]]!=goal[a[i]])
                ans=false;
        }
        if(!ans){puts("Y");continue;}
        int cnt1=0,cnt2=0,pos1=0,pos2=0;
        for(int i=1;i<16;i++){
            if(init[b[i]]==0){pos1=i;continue;}
            for(int j=0;j<i;j++)
                if(init[b[j]]>init[b[i]])
                   cnt1++;
        }
        for(int i=1;i<16;i++){
            if(goal[b[i]]==0){pos2=i;continue;}
            for(int j=0;j<i;j++)
                if(goal[b[j]]>goal[b[i]])
                   cnt2++;
        }
        if((abs(pos1/4-pos2/4)+cnt1-cnt2)%2==0) puts("N");
        else puts("Y");
    }
    return 0;
}