【leetcode】最长递增子序列

最新推荐文章于 2025-03-27 20:15:27 发布

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分类专栏： LeetCode

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本文介绍了一种求解最长递增子序列的算法，通过动态规划和二分查找优化，将时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)。文章提供了具体的实现代码，展示了如何在序列中找到最长递增子序列的长度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定义一个数组 $d p$ 存储最长递增子序列的长度， $d p [n]$ 表示以 $S_n$ 结尾的序列的最长递增子序列长度。
可以使用二分查找将时间复杂度降低为 $O (N l o g N)$ 。
$d p [n] = m a x (1, d p [i] + 1)$ $S_i < S_n$ and $i < n$
对于一个长度为 N 的序列，最长递增子序列并不一定会以 $S_n$ 为结尾，因此 $d p [N]$ 不是序列的最长递增子序列的长度，需要遍历 $d p$ 数组找出最大值才是所要的结果.
$m a x (d p [i], 1 < = i < = N)$ 即为所求。

int lengthOfLIS_1(vector<int> nums) {
    int n = nums.size();
    int dp[n];
    int maxx = 1;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int maxn = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j]) {
                maxn = max(maxn, dp[j] + 1);
            }
        }
        dp[i] = maxn;
        maxx = max(maxn,maxx);
    }
    return maxx;
}
int main(){
    int a[] = {2,6,3,9,2,1,2,3,4,5};
    vector<int> v;
    int n = 10;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        v.push_back(a[i]);
    cout<<lengthOfLIS_1(v)<<endl;
}

但是时间复杂度为 $O(N^2)$ ，有更快的方法，可以在搜索的时候，记录当前的最长递增子序列路径，每走一步，进行一次二分查找，然后更新数组。因为中间是二分搜索了，所以时间复杂度为 $O (N l o g N)$
数组为：{2,6,3,9,2,1,2,3,4,5}，每次输出的tail数组如下：
在这里插入图片描述

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int binarySearch(int tails[], int len, int key) {
    int l = 0, h = len;
    while (l < h) {
        int mid = l + (h - l) / 2;
        if (tails[mid] == key) {
            return mid;
        } else if (tails[mid] > key) {
            h = mid;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
    return l;
}
int lengthOfLIS(vector<int> nums) {
    int n = nums.size();
    int tails[n+1];
    int len = 0;
    for (int num : nums) {
        int index = binarySearch(tails, len, num);
        tails[index] = num;       
        if (index == len) {
            len++;
        }
    }
    return len;
}
int main(){
    int a[] = {2,6,3,9,2,1,2,3,4,5};
    vector<int> v;
    int n = 10;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        v.push_back(a[i]);
    cout<<lengthOfLIS(v)<<endl;
}