CF1485B Replace and Keep Sorted

Replace and Keep Sorted

题目描述

Given a positive integer $k$ , two arrays are called $k$ -similar if:

• they are strictly increasing;
• they have the same length;
• all their elements are positive integers between $1$ and $k$ (inclusive);
• they differ in exactly one position.

You are given an integer $k$ , a strictly increasing array $a$ and $q$ queries. For each query, you are given two integers $l_i\le r_i$ . Your task is to find how many arrays $ b $ exist, such that $b$ is $k$ -similar to array $[a_{l_i},a_{l_i+1}\dots ,a_{r_i}]$ .

输入格式

The first line contains three integers $n$ , $q$ and $k$ ( $1\le n,q\le 10^5$ , $n\leq k \leq 10^9 $ ) — the length of array $a$ , the number of queries and number $k$ .

The second line contains $n$ integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ( $1\le a_i\le k$ ). This array is strictly increasing — $a_1<a_2<\dots <a_n$ .

Each of the following $ q $ lines contains two integers $l_i$ , $r_i$ ( $1\le l_i\le r_i\le n$ ).

输出格式

Print $q$ lines. The $i$ -th of them should contain the answer to the $i$ -th query.

样例 #1

样例输入 #1

4 2 5
1 2 4 5
2 3
3 4

样例输出 #1

4
3

样例 #2

样例输入 #2

6 5 10
2 4 6 7 8 9
1 4
1 2
3 5
1 6
5 5

样例输出 #2

8
9
7
6
9

提示

In the first example:

In the first query there are $ 4 $ arrays that are $ 5 $ -similar to $ [2,4] $ : $ [1,4],[3,4],[2,3],[2,5] $ .

In the second query there are $ 3 $ arrays that are $ 5 $ -similar to $ [4,5] $ : $ [1,5],[2,5],[3,5] $ .

题面翻译

给定一个自然数 $k$。

我们定义两个数列是 $k$ 相同的，当且仅当这两个数列长度相同，严格递增，元素都在 $[1,k]$ 之间，且恰好存在一个数不同。

现在给出一个长度为 $n$ 的严格递增的数列 $A$ ，每次询问一个区间 $[L_i,R_i]$ ,求出$A_{L_i},A_{L_i+1}\dots \dots A_{R_i}$ 这个数列有多少个与其 $k$ 相同的数列。

思路：

每次只能变动原序列一个元素，且这个元素变动范围在其前后两元素之间。

位于开头的元素需要 $\ge 1$，位于末尾的元素需要 $\le k$，其余中间的元素 $a_i$ 需要 $a_{i-1}$ 小于 $a_i$ 小于 $a_{i+1}$。

所以利用差分和，设差分为 d[i]=a[i]-a[i-1]，则每个元素（非首尾元素）可以有 d[i]-1+d[i+1]-1种可行情况
临界分析：对于首尾元素，a[1]有 d[1]-1+a[1]-1种可行情况，a[n]有 d[n]-1+k-a[n]种可行情况。

把所有可行情况加起来就可以了，算 $sum$ 的时候用到差分和，避免重复计算超时。

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代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<deque>
#include<stack>
#include<map>
#include<list>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e6;
#define LL long long

int a[N] , n , t , k , num[N];

int main(){
	cin >> n >> t >> k;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
		cin >> a[i];
	}
	a[0] =0 , a[n + 1] = k;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
		num[i] = (a[i] - 1 - a[i - 1]) + (a[i + 1] - a[i] - 1);
	}
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++){
		num[i] += num[i - 1];
	}
	while(t--){
		int l , r;
		cin >> l >> r;
		LL ans;
		if(l == r){
			ans = k - 1;
		}else {
			ans= num[r - 1] - num[l];
			ans += a[l + 1] - 2 + k - 1 - a[r - 1];
		}
		cout << ans << endl;
	}
    return 0;
}