图论最小环问题求解

问题概述

在图论中,我们会遇到这样一类问题:

在一个图中,定义环为这样的一条路径:

从起点$st$出发,经过图上任意数量的顶点且每个顶点至多经过一次,最后回到起点$st$的一个回路.

也就是说,在一个环里,除了顶点经过两次,其余的点只经过一次.我们这么定义环的大小:

一个环的大小指的是环回路上所有加权路径的权值和.

如下图,是两个环的例子:

左图可以理解为0->1->2->0,长度为7的环,这是个无向图;
右图可以理解为2->3->4->5->2,长度为2的环,这是个有向图.

显然,无论是有向图还是无向图,对于一个环,其起点可以是环上的任意点,如上图左可以看成是1->2->0->1,右可以看成是3->4->5->2->3,于是环的起点和表示是不确定的,但是环的大小是一定的.因此,我们不关心图上每一个点为起点的环的大小,因为可能不计其数,且有大量重复,我们只想知道: 图上的最小环是多少?

常规解法

假设一个环中有一条$i\to j$的边,那么要构造一个相对于当前的$i$和$j$的最小环,应该在找一条不包括这条边的$i\to j$的最短路,加上这条边,就构成了环,显然,对于任意直接连通的两点都需要找这么一条最短路,这属于单源最短路,$Dijkstra$、$SPFA$、$Bellman-Ford$都可以做,具体做法如下:

1. 对于两个点$i,j$,若存在$i\to j$直连的路径$<i,j,w>$,则将设条路径权值$w$记录下来,再从图中删去;
2. 对于删去$<i,j,w>$的图,以$i$为源点跑一遍最短路径算法,得到$dis[j]$,再将$<i,j,w>$加回图中;
3. 将$w+dis[j]$和已求出来的最小环值比较,二者取小值作为新的最小环值;
4. 对于每条边,重复1至3,直到所有的边都删去过一次,算法结束.

注意事项: 从图中删去边可以将$<i,j,w>$改为$<i,j,+\infty >$,加回图中也是类似,做一个逆向操作.

分析: 对于这样的一个算法思路,时间瓶颈显然是在边的数目上,对于一个存在 E E